Acertijos de Perímetros

Llena el siguiente diagrama con cada uno de los números enteros del 1 al 6 usándolos sólo una vez, de forma que la suma de los tres valores en cada lado del triángulo sea 10. El 1 y el 3 ya está colocados en dos de las tres esquinas. ¿Cuál número va en la tercera esquina?

Este caso es similar al anterior con la diferencia de que ahora queremos una suma de 9.

Dado que sólo puedes usar cada uno de los números del 1 al 6 sólo una vez, ¿existe una solución para este acertijo?

Cuando todos los lados tienen la misma suma, denominamos a ese valor como la suma mágica del triángulo. En las anteriores preguntas, vimos la suma mágica de 10 y 9 de un triángulo.

Usando los números del 1 al 6, ¿cuál es la suma mágica más grande posible para este triángulo?

Si es que queremos crear una suma mágica de 11 sólo usando los números del 1 al 6, ¿cuál es la suma de los tres valores de las esquinas?

Existe una manera más rápida de resolver esto que usar la suma de todos los números: 1+2+3+4+5+6=21.

Hemos visto que, las sumas mágicas desde el 9 al 12 son posibles en un triángulo, los cuales pueden ser vistos abajo.

También encontramos una relación algebraica muy útil entre la suma de las esquinas y la suma mágica del triángulo: si es que la suma mágica es M, la suma de los valores en las tres esquinas debe ser igual a 3M-21.

Por ejemplo, con la suma mágica de 10, las esquinas suman 3(10)-21=30-21=9. Comprueba esto usando los triángulos de abajo.

¿Es posible tener una suma mágica menor a 9?

En un cuadrado mágico 3×3, los dígitos del 1 al 8 pueden ser usados para lograr que cada uno de los cuatro lados resulte en una suma mágica de 12.

¿Cuál es la suma de los cuatro valores de las esquinas?

En el anterior problema vimos que, la suma de las cuatro esquinas es 12. Ahora veamos los valores que podrían ir en las esquinas.

El valor más pequeño de la suma de las cuatro esquinas es 1+2+3+4=10. Podemos cambiar los valores de la suma hasta llegar a una suma de 12.

Inicialmente, sólo podemos cambiar del 4 al 5 ya que si cambiamos los otros número, por ejemplo, del 1 al 2, obtendremos un duplicado.

1+2+3+5=11

Aumentando el mismo número otra vez, tenemos

1+2+3+6=12

También podemos aumentar el 3:

1+2+4+6=13

Esto es mayor a lo que necesitamos, por lo que reducimos el 6:

1+2+4+5=12

1+2+3+6=12 y 1+2+4+5=12 son las únicas dos posibilidades para lograr un 12.

Vimos que, 1+2+3+6=12 y 1+2+4+5=12 son las únicas dos posibilidades para lograr un 12.

¿Es posible tener una solución con 1, 2, 4, y 5 en las esquinas?

Usando 1, 2, 3, y 6 para las esquinas, sólo tenemos las siguientes posibilidades. ¿Cuál nos permite resolver el acertijo?