Antiderivadas

La sección sobre derivadas fue muy útil ya que aprendimos a encontrar puntos extremos de curvas y a resolver problemas de optimización.

Usamos un problema de física para pensar en las derivadas. Vimos que, nos ayudaron a entender el concepto de velocidad de un objeto con aceleración.

En esta lección, introduciremos las antiderivadas a través del mismo problema de física. Con las antiderivadas, empezaremos nuestro camino hacia las integrales.

Veamos cómo encontramos la altura de la manzana h(t) en la siguiente interactiva:

Creado con GeoGebra

De física tenemos que, un objeto que cae cerca de la superficie de la Tierra, cae con aceleración constante.

Si es que tenemos que –g representa la contante de aceleración de un objeto que cae como la manzana hacia la superficie terrestre, ¿cuál de las siguientes es verdadera?

La ecuación de la manzana que obtuvimos, [latex]h”(t)=-g[/latex], es un ejemplo de una ecuación diferencial. Una ecuación diferencial involucra a una función desconocida y sus derivadas.

Con el uso de las antiderivadas, podemos obtener una fórmula para h y resolver esta ecuación para la función de la altura ya que una antiderivada revierte a una derivada.

De la misma forma que [latex]\frac{d}{dt}[/latex] representa diferenciación, [latex]\int \left[~ \right] dt[/latex] representa antidiferenciación. Esto se lee como “la integral de [ ] con respecto a [latex]t”[/latex].

Para obtener la función f(t), necesitamos tomar las antiderivadas, lo cual es lo opuesto de las derivadas.

¿Cuál es una posible expresión para [latex]\int \left[-g\right ]dt[/latex]?

En el anterior problema, encontramos una expresión la cual al ser derivada resulta en –g. Vimos que, –gt es una antiderivada de –g ya que [latex]\frac{d}{dt} \left[-gt\right]=-g[/latex].

Sin embargo, tenemos una característica especial que observar. Podemos ver que –gt+C también es una antiderivada de –g para cualquier constante arbitraria:

Entonces, escribimos [latex]\int \left[-g\right] dt=-gt+C[/latex] para cubrir todas las posibilidades, en donde C es llamada la constante de integración.

Queremos encontrar h(t) al antiderivar [latex]h”(t)=-g[/latex]. En la anterior página, obtuvimos

Podremos resolver esto al tomar otra antiderivada, pero primero pensemos en la constante C. ¿Con qué información podremos conocer el valor de C?

En la anterior pregunta, obtuvimos [latex]h'(t)=-gt+C[/latex] y vimos que [latex]h'(0)=v_{0}[/latex] nos dice [latex]h'(t)=-gt+v_{0}[/latex].

Necesitamos establecer algunas reglas de antiderivadas ya que [latex]h'(t)[/latex] es un poco más complicado que [latex]h”(t)[/latex].

Sin tener en cuenta la contante de integración, es decir, C=0 y teniendo en cuenta que las antiderivadas revierten a las derivadas, ¿cuáles reglas aplican a [latex]f\left[ ~\right]dt[/latex]?

Selecciona una o más

En la anterior pregunta vimos que, algunas reglas para derivadas también aplican para antiderivadas. Entonces, con las reglas de la suma y del producto, podemos escribir

Ya sabemos que t es una antiderivada de 1, por lo que sólo nos queda encontrar una regla de la potencia para antiderivadas.

Recordando la regla de la potencia para derivadas [latex]\frac{d}{dt} \left[{{t}^n} \right]=n{{t}^{n-1}}[/latex], encuentra lo siguiente

Usa la regla de la potencia [latex]\int {{t}^n} dt=\frac{1}{n+1} {{t}^{n+1}}+C[/latex] para resolver lo siguiente asumiendo que la manzana está a [latex]h_{0}[/latex] unidades sobre el suelo cuando empieza a caer.

En esta lección vimos que, las antiderivadas revierten a las derivadas y viceversa:

Las antiderivadas son muy útiles para resolver ecuaciones diferenciales como [latex]h”(t)=-g[/latex], las cuales son usadas todo el tiempo en ingeniería y física.

En la siguiente lección, conectaremos a las antiderivadas con las integrales.