Áreas Invariantes

Un triángulo verde con una base de 5 es colocado dentro de un rectángulo de tal forma que su base está en el lado inferior del rectángulo y un vértice está en el lado superior. ¿Cuál de las siguientes figuras tiene esta descripción?

En el anterior problema, vimos tres triángulos que satisfacían la descripción dada. En cada imagen, las áreas de cada región celeste a cada lado de los triángulos eran diferentes. Cuando un área o longitud no está completamente determinada con la información dada, nos referimos al área o la longitud como ambiguas.

La libertad para mover un objeto o punto en la figura se conoce como un grado de libertad. En este problema, la libertad para colocar la base del triángulo en cualquier parte del lado inferior del rectángulo y la libertad de especificar en donde colocar el vértice del triángulo en el lado superior del rectángulo son grados de libertad.

Observa que las áreas de las regiones celestes a cada lado del triángulo cambian dependiendo en donde ubiquemos la base y el vértice. Sin embargo, dado que la altura del triángulo es fija y es igual a la altura del rectángulo y la base es conocida (5), el área del triángulo es la misma en cada figura. Esto significa que el área total de la región celeste no cambia. Áreas y longitudes que no cambian dependiendo en los grados de libertad son denominadas invariantes.

Tenemos un cuadrado con lados de longitud 8. El vértice E puede ser posicionado en cualquier lugar en la línea entrecortada roja que está ubicada en la mitad del cuadrado. El cuadrado es dividido en cuatro secciones como se ve en la imagen. La libertad de colocar el vértice E en cualquier lugar de la línea entrecortada es un grado de libertad. ¿Cuál de las siguientes medidas es una invariante?

Si es que E ya no está restringido a estar en la línea entrecortada del medio y puede ser colocada en cualquier lugar del plano, incluso fuera del cuadrado, ¿sigue siendo el área azul una invariante?

Un cuadrado con lados de longitud 6 es colocado en A, que es el centro de un cuadrado con lados de longitud 4. Los dos lados del cuadrado grande cruzan los lados del cuadrado pequeño en los puntos B y C.

Si es que rotamos el cuadrado grande con respecto al punto A, ¿cuáles medidas son invariantes?