Asíntotas Parte II

En la anterior lección miramos funciones con asíntotas¹ verticales, en donde x era un valor para el cual la función no estaba definida. En esta lección exploraremos asíntotas horizontales y asíntotas inclinadas.

Nota 1: Una asíntota de una curva es una línea a la cual la curva converge, es decir, la curva se acerca a su asíntota. Una curva no puede cruzar una asíntota vertical, pero sí puede cruzar una asíntota horizontal o inclinada.

Ten en cuenta que todas las líneas horizontales tienen una ecuación en la forma y=un número.

¿Cuál es la asíntota horizontal de cualquier función en la forma [latex]y=\frac{1}{x-a}[/latex]?

Creado con GeoGebra

Las asíntotas horizontales describen el comportamiento en los extremos de una gráfica. Las asíntotas horizontales indican el comportamiento de los valores de y a medida que los valores de x tienden hacia infinito tanto en la dirección positiva como en la negativa.

La función que acabamos de ver tiene una asíntota horizontal en y=0, por lo tanto, cuando los valores de x son o bien muy grandes o muy pequeños, podemos esperar valores de y cercanos a 0.

Creado con GeoGebra

¿Es verdad que cualquier función racional² la cual tenga un numerador con menor grado³ que el denominador tendrá una asíntota horizontal en y=0?

Nota 2: Una función racional es una tasa entre dos polinomios como, [latex]y=\frac{x+1}{{{x}^2}+5}[/latex].

Nota 3: El grado de un polinomio es el valor del exponente más alto del polinomio.

Creado con GeoGebra

Cuando x se vuelve demasiado grande, el término con el mayor exponente dominará los valores del numerador y del denominador.

¿Cuál es la asíntota horizontal de [latex]y=\frac{5{{x}^3}+2}{{{x}^3}}[/latex]?

¿Cuál de las siguientes funciones tienen una asíntota horizontal de [latex]y=\frac{3}{2}[/latex]?

¿Es verdad que cualquier función racional en la cual el grado del numerador es mayor al grado del denominador tendrá una asíntota horizontal?

En el anterior problema vimos que funciones racionales con un grado mayor en el numerador no tendrán una asíntota horizontal. Si es que no hay asíntota horizontal y la diferencia en grados es exactamente uno, una línea es una asíntota inclinada. Esto sucede ya que, por ejemplo, al comparar grado 3 con grado 2, [latex]\frac{{{x}^3}}{{{x}^2}} =x[/latex] forman una línea recta.

¿Cuál es la ecuación para la asíntota inclinada de [latex]y=\frac{{{x}^2}+3x+8}{x+2}[/latex]?

Creado con GeoGebra

En el anterior problema, vimos que la asíntota inclinada para [latex]y=\frac{{{x}^2}+3x+8}{x+2}[/latex] es y=x+1.

¿A qué es igual y=(x²+3x+8)÷(x+2)?

Usa la gráfica de [latex]y=\frac{x-4}{{{x}^2}-2}[/latex] para determinar cuál de los siguientes enunciados es verdadero

A) Las gráficas de funciones racionales pueden cruzar las asíntotas verticales.

B) Las gráficas de funciones racionales pueden cruzar las asíntotas horizontales.