Bases y Exponentes I

Los exponentes son ampliamente usados en muchas áreas ya que nos permiten representar un número o variable que se multiplica a sí mismo repetidas veces. Los exponentes nos ayudan a representar números muy grandes y números muy pequeños. ¿Pero cómo procedemos con operaciones que involucran varios exponentes?

En esta lección exploraremos las reglas y relaciones que nos ayudan a simplificar expresiones exponenciales que tienen la misma base.

Si es que tenemos [latex]({{y}^4})({{y}^5})=[/latex](y∙y∙y∙y)(y∙y∙y∙y∙y), ¿cuál expresión es equivalente¹ a [latex]({{y}^4})({{y}^5})[/latex]?

Nota 1: Expresiones equivalentes tal vez se vean diferentes, pero tienen el mismo valor numérico. Al sustituir el mismo valor de variable en cada expresión obtenemos el mismo resultado.

En el anterior problema vimos que [latex]({{y}^4})({{y}^5})=[/latex](y∙y∙y∙y)(y∙y∙y∙y∙y)[latex]={{y}^9}[/latex].

¿Cuál es el valor de [latex](4{{x}^3})(5{{x}^4})[/latex]?

El método que usamos para resolver los anteriores problemas se llama la regla del producto.

Cuando multiplicamos términos exponenciales que tienen las mismas bases², podemos sumar los exponentes³. Por ejemplo:

Nota 2: La base de un exponente es el número que está siendo multiplicado. Por ejemplo, en la potencia 2³, 2 es la base.

Nota 3: Un exponente representa la cantidad de multiplicación repetida. Por ejemplo, en la potencia 2³, 3 es el exponente ya que representa cuántas veces multiplicamos al 2.

¿Cuáles expresiones son equivalentes?

Usa la regla del producto de los exponentes para resolver el siguiente rompecabezas. Haz clic en las piezas que contienen expresiones equivalentes y verifica tu respuesta.

Creado con GeoGebra, por cemccourseware

¿Cuál es el valor de a?

Evalúa la siguiente expresión:

Ya sabemos cómo multiplicar potencias que tienen las mismas bases. Ahora veamos lo que pasa cuando tenemos división de potencias.

Si es que tenemos que [latex]\frac{{{x}^8}}{{{x}^3}} =\frac{x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x}{x\cdot x\cdot x}={{x}^5}[/latex], ¿cuál es el valor de [latex]\frac{6{{x}^5}}{2{{x}^3}}[/latex]?

El método que usamos para resolver el anterior problema se llama la regla del cociente o regla de la división.

Cuando dividimos términos exponenciales que tienen la misma base, podemos restar los exponentes. Por ejemplo:

Evalúa lo siguiente:

¿Cuáles expresiones son equivalentes?

Usa la regla del cociente de los exponentes para resolver el siguiente rompecabezas. Haz clic en las piezas que contienen expresiones equivalentes y verifica tu respuesta.

Creado con GeoGebra, por cemccourseware

Si es que tenemos que [latex]\frac{{{x}^a}}{{{x}^b} {{x}^c}}=x[/latex], ¿qué debe ser verdad sobre a, b y c?