Biyecciones para Conteo

En esta lección, aprenderemos a calcular probabilidades con el método de conteo que usa biyecciones. Una biyección entre dos conjuntos A y B es un emparejamiento en donde un elemento de A tiene una y sólo una pareja en B y viceversa.

Muchas veces, en vez de contar directamente el número de maneras de hacer algo, podemos encontrar un grupo equivalente de objectos que es más fácil de contar y contamos ese grupo. Por ejemplo, considera el problema de distribuir 5 esferas iguales en 3 cajas diferentes.

Esto resulta difícil contar directamente. En vez de eso, podemos imaginar 5 esferas y dos divisores. Contar el número de maneras para permutar una cadena de 5 esferas y dos divisores es todo lo que necesitamos dado que cada permutación nos dará una forma de distribuir las esferas en las cajas.

¿Cuántas maneras posibles hay para dividir 5 esferas idénticas entre las tres cajas?

¿Cuántas soluciones de números enteros no negativos hay para la ecuación w+x+y+z=8?

¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la desigualdad x+y+z≤6?

Considera el problema de contar el número de maneras en las que 4 personas pueden sentarse en 13 sillas en una línea si es que dos personas no pueden sentarse junto a otra persona.

Imagina que las cuatro personas son colocadas en 4 sillas, por ejemplo, de la forma ABCD. Entonces, una silla debe ir entre A y B y de igual forma para el resto, usando 3 sillas. Por lo tanto, hay 13-4-3=6 sillas restantes y 5 espacios en donde estas sillas pueden ser distribuidas ya que pueden ser colocadas a la izquierda de A o a la derecha de D, así como también en medio de dos personas.

Esto es equivalente a colocar 6 esferas de diferente manera en 5 cajas.

¿En cuántas formas pueden sentarse 4 personas en 13 sillas si es que dos personas no pueden sentarse juntas?

Imagina que queremos contar el número de maneras para ir desde el punto (0, 0) hasta el punto (4, 4) moviéndose sólo en pasos de una unidad hacia arriba o hacia la derecha. Cada camino posible es equivalente a una permutación de una cadena de 4 arribas y 4 derechas. Por lo tanto, es suficiente con contar el número de maneras para organizar 4 arribas y 4 derechas.

¿Cuántas maneras hay para ir desde el punto (0, 0) hasta el punto (4, 4) moviéndose sólo en pasos de una unidad hacia arriba o hacia la derecha?