Cálculo de Distancias

Resulta relativamente fácil calcular distancias cuando tenemos velocidades constantes. Sin embargo, cuando la velocidad cambia con el tiempo, esto resulta más complicado. Pero podemos obtener una buena aproximación al dividir el intervalo de tiempo en pedazos pequeños y asumir que la velocidad en cada periodo individual permanece constante. Por lo tanto, podemos multiplicar el cambio en tiempo por la velocidad al inicio de ese intervalo y sumar los productos.

Creado con GeoGebra

Cuando dividimos en n intervalos, llamamos a esto una aproximación-n. Es decir, la visualización de arriba muestra un aproximación-4 de la distancia viajada.

Un auto acelera con aceleración constante desde 0 kph hasta 120 kph en un periodo de 3 horas.

Si es que dividimos este intervalo de tiempo en tres intervalos, ¿cuáles son las velocidades al inicio de los intervalos?

El mismo auto acelera a un ritmo constante desde 0 kph hasta 120 kph en un periodo de 3 horas.

Usemos [latex]d_{1}[/latex] para representar una aproximación-3 para la distancia viajada, es decir, dividimos el periodo en subintervalos de tiempo más pequeños y asumimos velocidad constante en cada uno. De igual forma, usemos [latex]d_{2}[/latex] para representar una aproximación-120, es decir, dividimos el periodo en 120 subintervalos pequeños.

¿A qué son iguales [latex]d_{1}[/latex] y [latex]d_{2}[/latex]?

Ahora supón que hay una función que nos dice la velocidad del auto en cualquier intervalo de tiempo, es decir, f(t) representa la velocidad del auto en tiempo t. El intervalo de tiempo [a, b] es dividido en 5 intervalos pequeños:

En términos de f, ¿cuáles son las velocidades al inicio de estos intervalos pequeños?

La velocidad de un auto en tiempo t es f(t). ¿Cuál es la aproximación-100 (100 intervalos) a la distancia viajada en el intervalo de tiempo [a, b]?

Vimos que, la aproximación-100 para la distancia viajada en un intervalo de tiempo [a, b] es:

Podemos generalizar esto para una aproximación-n:

Esto se llama una suma de Riemann, la cual escribiremos como SR(f, a, b, n) lo que significa la aproximación-n de la distancia viajada en el intervalo de tiempo [a, b] con función de velocidad f.

La distancia verdadera es un límite de estas aproximaciones a medida que n se va a infinito. Exploraremos esto a detalle en las próximas lecciones.