Combinaciones I

Diana, Laura y Tomás están en una heladería, quieren compartir un helado grande y deciden que cada uno pedirá un helado de sabor diferente.

¿En cuántas maneras diferentes podrían los tres comprar un helado que contiene los sabores de chocolate, fresa y vainilla? Por ejemplo, dado que cada persona pide un sabor diferente, una posible manera podría ser: Diana pide fresa, Laura pide vainilla y Tomás pide chocolate.

Diana, Laura y Tomás se dan cuenta de que el orden en el que escojan los sabores de helados no importa. Por ejemplo, los dos helados que se muestran abajo son los mismos, a pesar de que el orden de los sabores es diferente.

Diana, Laura y Tomás piden un nuevo helado. Cada persona escoge un sabor diferente de cinco opciones. ¿Cuántos helados diferentes podrían ordenar?

En situaciones en donde el orden sí importa, como por ejemplo en contraseñas, podemos usar la fórmula de permutación para calcular el número de posibilidades. Pero cuando el orden no importa, esta fórmula sobre cuenta el número de posibles combinaciones ya que las reorganizaciones son contadas múltiples veces. Por ejemplo, dos helados en los cuales los sabores son simplemente reorganizados en verdad no son diferentes.

Para corregir por esto, dividimos por el número de maneras en las que se pueden reorganizar a los elementos en una combinación.

4 cartas son sacadas de una baraja de 52 cartas. Hay 52×51×50×49=6497400 maneras en las que estas cartas pueden ser sacadas.

Una vez que las cartas son sacadas, su orden no importa.

¿Cuántas maneras diferentes de combinaciones de 4 cartas son posibles de una baraja de 52 cartas?

De un conjunto bolas de billar, producimos listas de bolas de billar que fueron ingresadas en un agujero en donde el orden no importa.

¿Cuántas combinaciones verdaderamente diferentes son posibles cuando producimos conjuntos de 5 bolas ingresadas de un total de 15 bolas?

Las permutaciones y las combinaciones son muy similares. Una permutación es una lista de objetos en donde el orden sí importa y una combinación es una lista de objetos en donde el orden no importa.

Si es que [latex]_{n}C_{k}[/latex] es el número de maneras para formar una combinación de k objetos si tenemos n objetos totales y [latex]_{n}P_{k}[/latex] es el número de maneras para formar una permutación de k objetos si tenemos n objetos totales, ¿cuál de las siguientes es verdadera?

Para un grupo de 8 personas, hay 8! maneras en las que podrían estar en un fila en donde el orden sí importa. Pero sólo hay 1 manera en la que las 8 personas formen un grupo de 8 sin orden. Usando la notación, tenemos [latex]_{8}P_{8} =8![/latex], pero [latex]_{8}C_{8} =1[/latex].

¿Cuál es el valor de [latex]_{50}C_{50}[/latex]?

En esta lección, hemos visto que hay más maneras de formar una lista de objetos cuando el orden sí importa (permutaciones) en comparación con una lista de objetos en donde el orden no importa (combinaciones).

Si es que estamos ordenando k objetos, hay k! maneras de escribirlos en órdenes diferentes. Esto significa que [latex]_{n}P_{k} =k!\times _{n}C_{k}[/latex]. Esto nos da una fórmula para el número de combinaciones de la fórmula existente para permutaciones: