Composiciones como Transformaciones

Si es que tenemos f(x)=x+2 y g(x)=3x, ¿cuál composición¹ produce una gráfica similar a f(x)=x+2 a excepción que la gráfica es desplazada hacia arriba con un incremento en la pendiente²?

Nota 1: Una composición de funciones forma una cadena de dos o más funciones de tal forma que la salida de una funciones se vuelve la entrada de la siguiente.

Nota 2: La pendiente de una línea es la tasa entre el cambio en y y el cambio en x. Describe la inclinación de una línea.

En el anterior problema, vimos que si tenemos g(x)=3x, la composición g(f(x)) toma la función f y multiplica todos los valores de la salida por 3. Esto es similar al estiramiento vertical que vimos en la lección de Traslada y Estira Funciones.

Todas las transformaciones³ básicas de funciones pueden ser realizadas con composiciones, descubriremos cómo en esta sección.

Nota 3: Transformación de gráficas es el proceso de modificar a una gráfica al moverla, estirarla, rotarla y/o invertirla.

Si queremos una función f de tal forma que f(g(x)) desplace a la gráfica de g verticalmente por k, ¿qué función funcionaría?

Si es que tenemos f(x)=x² y g(x)=x-2.

¿Cuál composición resulta en una traslación horizontal de f?

Nota 4: Una traslación horizontal desliza o traslada a una gráfica hacia la izquierda o hacia la derecha.

Ya hemos visto un estiramiento vertical de la gráfica de la función f al usar g(x)=3x y la composición g(f(x)).

¿Qué pasaría si tenemos f(g(x))?

En resumen, si es que tenemos una función f,

♦ Al usar g(x)=ax y la composición g(f(x)) multiplicamos la dimensión vertical por un factor de a.

♦ Al usar g(x)=bx y la composición f(g(x)) dividimos la dimensión horizontal por un factor de b.

♦ Al usar g(x)=x+k y la composición g(f(x)) traslada la gráfica verticalmente por k.

♦ Al usar g(x)=x-h y la composición f(g(x)) traslada la gráfica horizontalmente por h.

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