Conceptos y Notación de Funciones

En la vida real frecuentemente queremos que nuestras preguntas tengan una sola respuesta. ¿Cuál será el salario básico el próximo año? ¿Cuál será el precio de la gasolina el próximo mes? ¿Cuánto debería pagar por esta casa?

La idea de conectar una sola pregunta con una sola respuesta se relaciona con la idea matemática de las funciones. En esta lección exploraremos qué es y que no es una función y miraremos ejemplos de la vida real para mejorar el entendimiento. También aprenderemos sobre la notación de las funciones en matemáticas.

Las funciones relacionan entradas con salidas, son descripciones de procesos que toman una entrada y producen una salida. Una función es una relación de dos conjuntos, de forma que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un único elemento del conjunto final.

Las funciones tienen una condición muy importante de que cada entrada produce sólo una salida.

¿Cuál de estos procesos no es una función?

A) Tomamos una lista de nombres de frutas, la alfabetizamos y presentamos el resultado.

B) Tomamos un número, lo multiplicamos por 2, le sumamos 5 y presentamos el resultado.

C) Tomamos una lista de nombres de frutas, distribuimos al azar el orden y presentamos el resultado.

Generalmente, cuando graficamos funciones¹, el eje² x y las coordenadas³ x corresponden a la entrada y el eje y y las coordenadas y corresponden a la salida.

Nota 1: Una función es una relación en donde cada entrada válida tiene sólo una salida posible.

Nota 2: El eje x es la recta numérica horizontal en el plano cartesiano.

Nota 3: Cada punto tiene un conjunto de coordenadas (x, y) que describe su ubicación en el plano cartesiano. El primer número en los paréntesis es la coordenada en x y el segundo número es la coordenada en y.

Nota 4: El eje y es la recta numérica vertical en el plano cartesiano.

Creado con GeoGebra, por Tim Brzezinski

¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función?

Las funciones representan muchos escenarios de la vida real. Un ejemplo es si es que estuvieras comprando una casa y necesitas saber cuánto dinero ofrecer por la casa. Usas el internet para mirar casas del mismo tamaño y averiguar precios y obtienes una lista de 8 casas.

Puedes comprar la casa por un sólo precio, no 8 precios diferentes. Así que quieres crear una función que producirá precios basados en criterios específicos como ubicación, años de antigüedad, número de habitaciones, etc.

Independientemente del tipo de función que uses, el resultado final es un único número que representa lo que estás dispuesto a ofrecer.

En el diagrama de dispersión que se muestra estamos usando años de antigüedad como la entrada y el precio como salida. Este diagrama no es una función ya que algunos años incluyen múltiples precios.

Hay una regla general visual que podemos usar para determinar si una gráfica representa una función. ¿Cuál de las siguientes reglas funcionaría?

A) Si es que alguna línea horizontal dibujada en cualquier lado de la gráfica interseca sólo un punto de la gráfica como máximo, entonces la gráfica representa una función.

B) Si es que alguna línea vertical dibujada en cualquier lado de la gráfica interseca sólo un punto de la gráfica como máximo, entonces la gráfica representa una función.

C) Si es que alguna línea horizontal y una línea vertical dibujadas en cualquier lado de la gráfica intersecan sólo un punto de la gráfica como máximo, entonces la gráfica representa una función.

En el anterior problema, vimos que la prueba de la línea vertical es un método visual muy útil para saber si una gráfica representa una función o no. Si es que una línea vertical dibujada en cualquier lado de la gráfica interseca sólo un punto de la gráfica como máximo, entonces la gráfica representa una función.

La notación que generalmente usamos para representar una función es f(x), en donde x es la entrada y la toda la expresión f(x) es la salida.

Por ejemplo, una función que toma una entrada, la eleva al cubo, la multiplica por 2 y le suma 5, sería escrita así f(x)=2x³+5.

Creado con GeoGebra, por Tim Brzezinski

Podemos usar la notación f(x) para escribir funciones o también podemos usar la usual notación de ecuaciones y=2x³+5. Asumiendo que y es la variable despejada, o puede despejarse, podemos decir que y es una función de x. Por lo tanto, podemos reemplazar f(x) con y u otra función.

Nota 5: La notación de funciones es una manera concisa de relacionar entradas y salidas de una función. Por ejemplo, f(x) representa la salida de una función en donde x es la entrada.

¿Cuál de las siguiente ecuaciones no muestra a y como función de x?

Si es que tenemos que f(x)=x², ¿a qué es igual f(x+2)?

Abajo tenemos la visualización de f(x)=a∛x para ayudarte en la resolución de este problema. ¿Qué efecto tiene el 3 en la función f, en la expresión 3f(x)?

Creado con GeoGebra