Cuerno de Gabriel

En esta lección, exploraremos un objeto interesante de las matemáticas: el cuerno de Gabriel o también llamada la trompeta de Torricelli.

El cuerno de Gabriel es formado al hacer girar a la curva [latex]y=\frac{1}{x}[/latex], x∈[1,∞) alrededor del eje x.

Veremos que, a pesar de que el cuerno se ve común, tiene una geometría extraña.

El cuerno de Gabriel es una superficie de revolución similar a una esfera unitaria, la cual es formada al girar a [latex]y=\sqrt{1-{{x}^2}}[/latex], x∈[-1, 1] alrededor del eje x.

Creado con GeoGebra

Para entender al cuerno de Gabriel y otras figuras parecidas, además de las integrales también usaremos las derivadas y los límites.

La integral, además de ayudarnos a calcular áreas planares, también tiene muchas otras aplicaciones.

Si es que damos la vuelta a y=f(x)>0, x∈[a, b] alrededor del eje x, el volumen de la figura resultante es dada por una integral.

Miremos la siguiente función:

Al girar la función alrededor del eje x, producimos tres cilindros, los cuales pueden ser observados en la siguiente interactiva.

Si es que un cilindro de radio r y longitud l tiene volumen πr²l, ¿cuál es el volumen del sólido que resulta al girar a f alrededor del eje x?

Creado con GeoGebra

Al hacer girar a una gráfica constante que es definida por partes alrededor del eje x, obtenemos un sólido con

Si es que tenemos [latex]f(x)=f_{i}[/latex] para [latex]x\in \left[x_{i},~x_{i+1}\right][/latex]. Siempre es posible aproximar a una función continua con una función escalonada:

Usa esto para encontrar una integral para el volumen que obtenemos al girar una función continua f(x), x∈[a, b] alrededor del eje x.

Al aproximar una curva con n pedazos y al tomar el límite n→∞, obtuvimos la fórmula [latex]V=\int_{a}^{b} \left[\pi f{{(x)}^2}\right] dx[/latex] para el volumen del sólido formado.

Usemos esto para calcular el volumen del cuerno de Gabriel.

Creado con GeoGebra

El cuerno es formado al girar [latex]y=f(x)=\frac{1}{x},~x\in \left[1, ~\infty\right)[/latex] alrededor del eje x.

Encuentra el volumen de este sólido usando el teorema fundamental del cálculo:

En la anterior pregunta vimos que, el cuerno de Gabriel tiene volumen finito. Esto es intuitivo ya que la gráfica de [latex]y=\frac{1}{x}[/latex] se hace muy angosta a medida que x→∞.

Ahora veremos su área superficial. Pero primero empezaremos con el área superficial de una esfera de radio r ya que es más fácil.

La esfera tiene volumen V(r) y si es que decrecemos a r por una cantidad muy pequeña ∆r, el volumen V(r)-V(r-∆r) es el volumen del cascarón que obtenemos después de quitar una esfera central de radio r-∆r:

El cascarón tiene volumen aproximadamente igual a

(área superficial de esfera con radio r)×∆r=S(r)∆r

Si es que [latex]V(r)=\frac{4}{3} \pi {{r}^3}[/latex], ¿a qué es igual S(r)?

Para formar el cascarón que vimos en la anterior pregunta, movemos los puntos en [latex]y=\sqrt{{{r}^2}-{{x}^2}}[/latex] hacia adentro por una distancia fija ∆r y luego hacemos girar alrededor del eje x:

Creado con GeoGebra

Similar al cascarón que formamos para la esfera, queremos crear un cascarón para una función general [latex]y=f(x)>0[/latex]:

Creado con GeoGebra

Para empezar, recuerda que, al acercarnos mucho, todas las curvas pueden ser aproximadas con líneas rectas:

Tanto y=mx como y=mx+b son paralelas. Encuentra a b de tal forma que la distancia entre las dos líneas es fija en ϵ.

Esta pregunta es más desafiante. Si tienes problemas para resolverla, puedes mirar la respuesta directamente.

Si es que movemos todos los puntos en y=mx perpendicularmente por ϵ, obtenemos la línea

Esto nos dice que, al mover los puntos en una línea tangente [latex]y=f'(a)(x-a)+f(a)[/latex], obtenemos la línea

Estas tangentes que fueron movidas definen a la nueva curva

Si es que ϵ es lo suficientemente pequeño, al girar a y=f(x) alrededor del eje x, obtendremos el cascarón con volumen

Usando esto, ¿cuál es una integral para el área superficial de revolución?

Para el cuerno de Gabriel, tenemos [latex]f(x)=\frac{1}{x},~x\in\left[1,\infty\right)[/latex], por lo que el área superficial total es

Esta integral es un poco difícil, pero tenemos que

Por lo que el área superficial está delimitada por

Usando el teorema fundamental y la identidad de antiderivada [latex]\int \frac{1}{x} dx=\ln⁡|x|+C[/latex], determina si es que el área superficial es finita o infinita.

En esta lección, usamos derivadas, integrales y límites para demostrar que el volumen del cuerno de Gabriel es finito, pero su área superficial es infinita.

Esto significa que podría contener una cantidad finita de pintura, pero necesitaría una cantidad infinita de pintura para ser cubierta completamente.

En la próxima sección, exploraremos a las sumas infinitas, las cuales también tienen resultados interesantes como el que vimos aquí.