Decripciones de Triángulos

En esta lección, miraremos las descripciones de triángulos usando el teorema de Pitágoras.

Creado con GeoGebra

Las descripciones que miraremos definirán a un triángulo único si es que todos los triángulos que tienen todas las propiedades específicas son congruentes.

Las descripciones definirán a un triángulo subrestringido si es que por lo menos dos triángulos diferentes pueden tener todas las propiedades especificadas.

Las descripciones definirán a un triángulo sobre restringido si es que no existe un triángulo que tenga todas las propiedades especificadas.

Cuando cortamos a un triángulo equilátero por la mitad, obtenemos un triángulo rectángulo 30-60-90.

Si es que tenemos las medidas especificadas en la imagen, en donde la hipotenusa mide 2 y el lado pequeño mide 1, ¿cuál es la longitud del tercer lado?

¿Cuál de los siguientes triángulos no describe a un triángulo 30-60-90?

Usemos una caña de pescar para ilustrar los conceptos de descripciones de triángulos. Hacemos que la caña esté fija a un ángulo de 30°, el cual es indicado por el ángulo azul. Estamos tratando de determinar qué tan lejos hacemos caer el anzuelo y qué tan larga es la línea y tenemos los siguientes casos:

Caso 1: Si es que la línea no es lo suficientemente larga, no topará el agua y no crearemos un triángulo.

Caso 2: Si es que la línea es más larga, topará el agua exactamente, creando un triángulo rectángulo.

Caso 3: Si es que la línea es un poco más grande, podría topar al agua en dos lugares diferentes, creando dos triángulos diferentes.

Caso 4: Si es que la línea es más larga que la caña de pescar, entonces sólo hay un ángulo al cual la línea podría topar al agua.

Explora estos casos cambiando la longitud de la línea en la siguiente interactiva:

Creado con GeoGebra

Mantenemos un ángulo de 30° y tenemos una caña de pescar de 3 m. ¿Cuál es la longitud mínima de la línea, en metros, que necesitamos para que tope el agua?

Tenemos la caña de pescar de 3 m fija a 30°. Esta vez, la línea está fija en 2 m. Si es que la línea es movida por las corrientes de agua, ¿qué tan lejos de la base de la caña se ubicará el anzuelo?

En el anterior problema, teníamos las longitudes de dos lados y un ángulo adyacente a un lado, pero ninguno de los otros ángulos.

¿Cuál triángulo nos dio esta descripción?

La descripción ALL de triángulos representa el escenario ángulo-lado-lado. Esta descripción nos da la longitud de dos lados del triángulo y un ángulo que no es el ángulo entre estos dos lados.

Esta descripción puede ser una definición única, subrestringida o sobre restringida dependiendo en el ángulo especificado y en la longitud de los lados:

Para la descripción ALL, hemos visto tres de los cuatro casos hasta ahora:

Caso 1: La línea es muy corta para tocar el agua.

Caso 2: La línea es lo suficientemente larga para tocar el agua.

Caso 3: La línea es más larga que el caso 2, pero más corta que la longitud de la caña de pescar.

Ahora veamos el caso 4, en donde la línea es más larga que la longitud de la caña de pescar.

Seguimos con la misma caña de pescar de 3 metros fijada a un ángulo de 30° y ahora la línea está fija en 4 metros. ¿Es esta descripción ALL con un ángulo y dos lados subrestringida, sobre restringida o define a un triángulo único?

En esta lección vimos que, necesitamos definir tres parámetros de un triángulo para definirlo completamente, pero no cualesquier tres parámetros funcionarán.

Las descripciones LLL, ALA, LAL, y AAL definirán completamente a un triángulo único, pero si es que las medidas no son escogidas adecuadamente, será una descripción sobre restringida.

La descripción ALL, es decir, ángulo, lado, lado, puede ser subrestringida, sobre restringida o definir a un triángulo único dependiendo en las medidas escogidas.