Dependencia e Independencia Lineal

En una lección anterior, Lorena estaba teniendo problemas en recordar la combinación de tres dígitos de su caja fuerte. Esta vez, su esposo Carlos que también recuerda algunas cosas sobre la combinación de su caja fuerte, tratará de ayudarla con las cosas que recuerda.

Para cada problema que veamos, primero es importante considerar si es que Carlos en verdad está añadiendo nueva información útil.

Lorena aún no logra recordar la combinación de su caja fuerte, pero recuerda lo siguiente:

♦ El primer dígito es mayor al segundo por 4.

♦ El segundo dígito es mayor al tercero por 2.

♦ Los dígitos están ordenados de mayor a menor.

Al ver que Lorena está teniendo problemas con su caja fuerte, su esposo Carlos se acerca y dice que también recuerda algo sobre la combinación:

♦ Si es que duplicas el primer dígito y sustraes el doble del segundo dígito, se obtiene 8.

Recuerda que la combinación consiste en tres dígitos, en donde cada dígito es un número entero del 0 al 9.

¿Pueden determinar la combinación con esta información?

Lorena sigue sin recordar nada más, aún recuerda las mismas cosas sobre la combinación de su caja fuerte:

♦ El primer dígito es mayor al segundo por 4.

♦ El segundo dígito es mayor al tercero por 2.

♦ Los dígitos están ordenados de mayor a menor.

Pero ahora, Carlos dice que recuerda algo más:

♦ La diferencia entre el primer dígito y el tercer dígito es 6.

¿Pueden determinar la combinación con esta información?

Lorena sigue sin recordar algo más, aún recuerda las mismas cosas sobre la combinación de su caja fuerte:

♦ El primer dígito es mayor al segundo por 4.

♦ El segundo dígito es mayor al tercero por 2.

♦ Los dígitos están ordenados de mayor a menor.

Pero ahora, Carlos dice que recuerda algo diferente:

♦ La suma del primer término y el tercer término es igual a 10.

¿Pueden determinar la combinación con esta información?

En los problemas anteriores vimos dos casos en los cuales la información que añadió Carlos no aportó con algo nuevo y un caso en el que sí ayudó con información nueva para resolver el problema. Veamos cómo determinar cuando una nueva ecuación aporta con algo y cuando no.

Una nueva ecuación es útil cuando presenta nueva información que no se puede encontrar en las demás ecuaciones previas. Ecuaciones con estos casos no aportan con información nueva.

♦ La suma de dos ecuaciones conocidas.

♦ Un múltiplo de una ecuación conocida.

♦ Cualquier combinación de sumas de múltiplos de ecuaciones conocidas.

Cualquier ecuación que puede ser escrita de esta forma no cambia el conjunto de soluciones. Estas ecuaciones son llamadas combinaciones lineales. Por ejemplo, digamos que tenemos las siguientes ecuaciones:

x+y=7
x+z=12

Si es que sumamos la primera ecuación dos veces y sumamos la segunda ecuación una vez, obtenemos una tercera ecuación:

(x+y)+(x+y)+(x+z)=7+7+12
3x+2y+2z=28

Por lo tanto, cualesquiera valores que satisfagan la primera y la segunda ecuación también satisfarán la tercera ecuación, así que el conjunto de soluciones no ha cambiado.

• Si es que alguna de las ecuaciones en un conjunto puede ser escrita como la combinación de las otras ecuaciones, al conjunto se lo denomina linealmente dependiente.

• Si es que ninguna de las ecuaciones de un conjunto puede ser escrita como la combinación de las otras ecuaciones, al conjunto se lo denomina linealmente independiente.

Las dos balanzas que se muestran son parte de un sistema de ecuaciones.

¿Cuál de las siguientes balanzas podría completar el sistema de ecuaciones para encontrar el peso de cada objeto?

¿Cuántos valores posibles hay para el peso de un diamante?

¿Cuál es el valor de w?