Derivadas: Introducción

La derivada es un límite que mide la tasa de variación o la pendiente de una función.

En esta lección, estudiaremos esta idea a detalle al usar un microscopio de funciones para hacer acercamientos. Las ideas que aprendamos serán una importante introducción al cálculo diferencial.

Creado con GeoGebra

Erick salió al campo a entrenar y está corriendo circuitos de 400 metros desde un árbol de manzanas hasta otro.

Si es que le toma 72 segundos ir desde un árbol al otro sin acelerar¹, ¿cuál es su rapidez²?

Nota 1: La aceleración es una medida del cambio en velocidad.

Nota 2: La rapidez v mide qué tan rápido se mueve un objeto, es la distancia recorrida dividida por el tiempo.

Dado que Erick no acelera, su velocidad permanece constante. Su rapidez es fácil de calcular, es simplemente la distancia que corre dividida por el tiempo que le toma en cubrir esa distancia.

Ahora imagina que Erick se detiene por un momento y mira que una manzana empieza a caer del árbol.

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Al caer, la posición de la manzana cambia con el tiempo, lo que nos dice que tiene una rapidez. Pero también está acelerando, lo que hace que su rapidez cambie.

Con la ayuda de las derivadas, podremos descubrir lo que significa la rapidez en esta situación, pero empezaremos explorando qué son las derivadas en sí.

En la siguiente gráfica podemos ver un acercamiento de una función en un punto.

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La primera gráfica es la función original y=f(x), la segunda gráfica muestra acercamientos en un punto (a, f(a)).

¿Qué nos sugieren estos acercamientos sobre una gráfica de una función continua?

Usemos una analogía para entender de mejor forma lo que descubrimos en la anterior pregunta.

Imagina la vista de la Luna al mirarla desde una nave espacial.

Al mirarla desde lejos, la Luna parece ser redonda, sin embargo, al descender y aterrizar,

la curvatura desaparece y es fácil creer que la Luna es plana.

Entonces, al hacer acercamientos en una gráfica, logramos que parezca tener menos curvatura similar a como la Luna parece hacerse más y más plana a medida que nos acercamos a su superficie.

Con las derivadas, podremos encontrar la ecuación de la línea a la que se aproxima la gráfica a medida que nos acercamos a un cierto punto.

Usaremos líneas secantes³ para desarrollar esta idea.

Nota 3: Una línea secante une dos puntos distintos en una curva.

La siguiente gráfica muestra a y=x² junto con el punto (1, 1) y las tres líneas secantes (verde, azul, roja) que unen al punto (1, 1) con los puntos A, B, C en la parábola.

¿Cuál línea secante se parece más a la parábola cuando con acercamos en (1, 1)?

En la siguiente interactiva, tenemos una línea tangente que es determinada por los puntos (1, 1) y (a, a²) en la gráfica de la parábola y=x². En donde, a puede ser cualquier valor a excepción del -1.

En el anterior problema vimos que, entre más cerca esté a de -1, más se parecerá la línea secante a la parte de la parábola cerca a (1, 1).

¿Cuál es la pendiente de la línea que más se acerca a y=x² cerca a (1, 1)?

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Ingresa un valor

Lo que acabamos de ver aplica a muchas funciones además de f(x)=x²:

• Cerca de un punto fijo (x, f(x)), la gráfica de f se ve como una línea recta.

• La secante a través de (x, f(x)) y (a, f(a)) se acerca a esta línea a medida que a→x.

¿Cuál es la expresión general para la pendiente de la línea que mejor se parece a la gráfica de f muy cerca de (x, f(x))?

En la anterior pregunta vimos que, el límite [latex]\lim_{a\to x}⁡ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/latex] nos dice la pendiente de la línea que más se acerca a la gráfica de f cerca de (x, f(x)). Esta línea es la aproximación lineal de f, así como también la línea tangente ya que toca ligeramente a la curva cerca de (x, f(x)).

En esta situación, la pendiente es un cambio muy pequeño en las salidas de f dividido por un cambio muy pequeño en sus entradas. Entonces, el límite [latex]\lim_{a\to x}⁡ \frac{f(x)-f(a)}{x-a)}[/latex] se escribe como [latex]\lim_{\Delta  x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}[/latex] , una abreviación es [latex]\frac{df}{dx}[/latex] y también podemos usar [latex]f'(x)[/latex].

Vemos el problema introductorio nuevamente. Si es que un objeto acelera, su velocidad cambia y veamos cómo encontrarla.

La altura de la manzana encima del suelo es

En la siguiente interactiva, podemos ver a esta línea junto con su línea tangente en (t, H(t)), la cual llamamos L(t).

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Cerca de t, H(t) es muy similar a la línea tangente L(t) y pareciera que la manzana no está acelerando.

Teniendo en cuenta que la velocidad es negativa debido a que la altura decrece, ¿cuál es la velocidad de la manzana después de caer por 1 segundo?

Ingresa un valor

[latex]H'(t)[/latex] es la pendiente de la aproximación de H cerca de t. Entonces, esta derivada nos dice la velocidad instantánea de la manzana en el tiempo t.

Veamos cómo encontrar la derivada [latex]H'(t)[/latex] sin usar una gráfica.

Encuentra el límite [latex]H'(t)=\lim_{a\to t}⁡\frac{H(t)-H(a)}{t-a}[/latex] si es que tenemos

O ignorando las unidades:

En esta lección, encontramos la pendiente de una curva al usar

Esto nos permite encontrar la mejor aproximación lineal a y=f(x) en (x, f(x)), que también es llamada la línea tangente.

Vimos una de las muchas aplicaciones de la derivada [latex]f'(x)[/latex]: encontrar la velocidad instantánea de un objeto que está acelerando.