Desafíos de Sistemas de Ecuaciones

La mejor estrategia para resolver sistemas de ecuaciones es combinar las ecuaciones de diferentes formas. Por ejemplo, podemos sumar, restar, multiplicar o dividir las ecuaciones para combinarlas.

Por supuesto, siempre debes buscar maneras de combinar las ecuaciones de forma que algunos términos se cancelen. Si los términos no pueden ser cancelados, puedes buscar formas de hacer que la ecuación combinada pueda ser manipulada y factorizada fácilmente.

¿Cuál es el valor de xy en el siguiente sistema de ecuaciones?

x²+xy=30
y²+xy=36

En el siguiente sistema de ecuaciones, x, y, z son números positivos reales. ¿Cuál es el valor de x+y+z?

xy=3,   yz=5,   zx=2

¿Cuál es el valor de x en el siguiente sistema de ecuaciones?

Otra estrategia que puede resultar muy útil es la sustitución de nuevas variables. Por ejemplo, esto puede ser usado en sistemas de ecuaciones en donde tenemos que todas las ecuaciones son simétricas, es decir, ecuaciones en las que los valores de las variables pueden ser intercambiados. En estos sistemas, podemos sustituir por los polinomios simétricos fundamentales de forma que obtengamos un sistema más fácil. Los polinomios simétricos fundamentales son la suma y el producto de dos variables.

También podemos usar esto si es que ciertas expresiones aparecen repetidamente en múltiples lugares en el sistema y las variables que involucran no aparecen en ningún otro lado, de forma que podemos trabajar con esa expresión y obtener un sistema más simple.

Exploraremos estas ideas en los próximos ejercicios.

¿Cuál es el producto de todos los valores posibles de x+y teniendo en cuenta el siguiente sistema de ecuaciones?

Encuentra el valor de x²+y²+z² en el siguiente sistema de ecuaciones:

Encuentra los valores de x, y, z en el siguiente sistema de ecuaciones.

x+y=2xy
y+z=3yz
z+x=7zx