Descripción de Sucesiones

Muy a menudo usamos n para describir la posición de un término¹ en una sucesión² o secuencia. Por ejemplo, en la sucesión A, el valor del 3er término es igual a n+7=3+7=10.

Nota 1: Recuerda que cada número en una sucesión es llamado término.

Nota 2: Una sucesión es una lista ordenada de números.

¿Qué fórmula describe el valor del término n en la sucesión B?

¿Cuál es una descripción correcta de esta sucesión de 7 términos?

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13

A) El término n en la sucesión es 2n-1.

B) El primer término en la sucesión es 1, luego añade 2 de un término al otro.

C) Los primeros siete números positivos impares ordenados de menor a mayor.

La mayoría de las sucesiones pueden ser descritas en cualquiera de estas formas:

• Forma recursiva: Tenemos un primer número y luego explicamos cómo ir de un número al otro. Por ejemplo, “el primer término en la sucesión es 1, luego añade 2 de un término al otro.”

• Forma explícita: Tenemos una ecuación para evaluar el valor del término n en la sucesión. Por ejemplo, “el término n en la sucesión es 2n-1.”

• Por propiedad: La sucesión es definida como el conjunto de números que tienen la misma propiedad, ordenados por otra propiedad. Por ejemplo, “los primeros siete números positivos impares ordenados de menor a mayor.”

La descripción recursiva³ muchas veces es la forma más fácil de encontrar, mirando a un patrón de imágenes o números.

Nota 3: Una fórmula recursiva para una sucesión explica cómo ir de un número al otro.

La Figura 4 en esta sucesión tiene 13 monedas. ¿Cuántas monedas usará la Figura 5?

Descripciones explícitas⁴ son útiles ya que permiten calcular inmediatamente el valor de cualquier término en la sucesión sin necesidad de conocer el término previo.

Nota 4: Una fórmula explícita es una regla que relaciona un número de término al valor del término en una sucesión. Nos permite calcular rápidamente el valor de términos grandes en una sucesión.

¿Cuál descripción explícita calcula el número de monedas en la Figura n?

Usa la fórmula explícita, 4n-3, para calcular el valor del término 80 de la sucesión.

Veamos un resumen de las tres estrategias que podemos usar para describir la secuencia previa.

• Podemos usar una propiedad que comparten todos los números: números positivos que tienen un residuo de 1 al ser divididos por 4, ordenados de menor a mayor,

• Podemos usar la fórmula explícita 4n-3 que nos ayuda a encontrar cualquier término si conocemos el número del término.

• Podemos usar la fórmula recursiva de empezar en 1 y añadir 4 a cada término sucesivo.

En las siguientes lecciones, nos enfocaremos principalmente en dos tipos de sucesiones: sucesiones aritméticas y sucesiones geométricas.

Ten en cuenta que hay una gran variedad de tipos de sucesiones. Los dos casos que estudiaremos simplemente formarán los fundamentos del estudio de sucesiones, secuencias y series.

Estos son unos divertidos e interesantes ejemplos.

Sucesión de Fibonacci

Cada término es la suma de los dos términos previos.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Esta sucesión tiene muchas aplicaciones y aparece en configuraciones biológicas como en las ramas de los árboles, en las flores de alcachofas y girasoles, en la configuración de las piñas de las coníferas, en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos y muchas otras más.

Creado con GeoGebra, por Dan

Números triangulares

El n número triangular es el número de puntos en un patrón que sobreponen triángulos regulares y que todos comparten un vértice.

1,3 ,6,15,25,…

Creado con GeoGebra, por Vincent Pantaloni

Números cuadrados

Son los cuadrados de los números enteros.

1,4,9,16,25,…

Creado con GeoGebra, por Vincent Pantaloni