Diferentes Tipos de Funciones

En esta lección exploraremos los diferentes tipos de funciones¹ y sus aplicaciones. Veremos que hay muchos tipos de funciones cada una con una forma, comportamiento y simetría únicas.

Nota 1: Una función es una relación en donde cada entrada válida tiene sólo una salida posible.

En la anterior lección vimos unas aplicaciones de líneas rectas. En esta lección veremos lo que podemos modelar con funciones cuadráticas, cúbicas, exponenciales y trigonométricas.

Nota 2: Una función cuadrática es una ecuación polinómica de grado dos. Su forma estándar es [latex]f(x)=a{{x}^2}+bx+c[/latex], en donde a, b, c son números reales y a≠0.

Nota 3: Una función cúbica es un polinomio de grado tres. Su forma estándar es [latex]f(x)=a{{x}^3}+a{{x}^2}+bx+d[/latex].

Nota 4: Una función exponencial es una función de la forma [latex]f(x)=a\cdot {{b}^x}[/latex], en donde a, b son números reales y b es positivo.

Nota 5: Las funciones trigonométricas relacionan los ángulos en triángulo rectángulo a las proporciones de los lados.

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Los datos que se muestran abajo representan el precio de las acciones de una compañía en los anteriores 5 años. El eje x muestra los años y el eje y muestra el precio de las acciones en dólares.

Usa el control deslizante para lograr una gráfica cúbica que mejor encaje con los datos que tenemos. ¿Qué se puede decir acerca de los valores de a y d de la ecuación cúbica que encaja?

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En el anterior problema modelamos el precio de las acciones de una compañía en los anteriores 5 años usando una función cúbica como la que tenemos en la figura de arriba. Si es que continuamos con la gráfica significa que en los próximo años el precio de las acciones sería negativo.

Es importante que siempre consideres una situación de la vida real con este tipo de modelos.

¿Presenta el modelo evidencia lo suficientemente convincente de que en verdad las acciones de la compañía tendrán un precio negativo?

Un modelo matemático es un tipo de generalización, una ecuación, una gráfica, un diagrama u otros que nos permite expresar relaciones y describir un sistema de entradas y salidas.

Los modelos matemáticos son sumamente importantes en las ciencias aplicadas y en tecnología. Sin embargo, hay ocasiones en las cuales los modelos pueden ser imprecisos y tener limitaciones en su utilidad. Por ejemplo, un modelo puede presentar subajuste, en donde el modelo no es lo suficientemente descriptivo para describir las relaciones fundamentales y también puede presentar sobreajuste, en donde el modelo describe errores al azar en vez de la relación fundamental.

Un buen modelo matemático con funciones requiere no sólo encajar las gráficas con los datos, sino también conceptos coincidentes. En esta lección, exploraremos las matemáticas aplicadas de manera sensata y con situaciones reales.

Muchas veces, además de usar modelos para representar datos, también podemos usar modelos para representar formas físicas.

La gráfica que se muestra abajo es una parábola. Una parábola puede representarse con una ecuación polinómica, sin embargo, también es una de las secciones cónicas.

Nota 7: Una parábola es formada al rebanar un cono con un plano paralelo a un lado del cono. La gráfica de una ecuación cuadrática es una parábola.

Nota 8: Una sección cónica es una curva definida por una ecuación polinómica de segundo grado. Cada sección cónica puede ser representada por una sección transversal de un plano que corta a un cono.

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El punto marcado se llama foco y la línea horizontal azul se llama directriz. Para cualquier punto P en la parábola, la distancia entre el punto P y el foco es ________________.

A) Mayor o igual a la distancia más corta entre el punto P y la directriz.

B) Menor o igual a la distancia más corta entre el punto P y la directriz.

C) Igual a la distancia más corta entre el punto P y la directriz.

Aún no tienes todas las herramientas para poder solucionar este problema, así que adivina utilizando tu intuición y piensa en lo que funcionaría.

Una función sinusoidal es útil para modelar tendencias cíclicas como la profundidad del agua en un puerto marítimo durante el día. En la gráfica de abajo, el eje x representa las horas del día y el eje y representa la profundidad del agua en metros.

Nota 9: Si es que un objeto repite su movimiento a lo largo de un cierto camino, alrededor de un punto en un intervalo de tiempo fijo, el movimiento de ese objeto es conocido como periódico o cíclico.

El valor de a es conocido como la amplitud. ¿Qué valor de a permite tener un buen modelo para coincidir con los datos?

Nota 10: La amplitud es la altura máxima que alcanza una onda.

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Abajo podemos ver la gráfica de [latex]y={{2}^x}[/latex], la cual es una función exponencial.

¿Cuál es la relación entre f(x) y f(x+1)?

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Crecimiento poblacional es frecuentemente modelado con funciones exponenciales. La gráfica muestra el crecimiento poblacional de bacterias con una población inicial de 500 y un crecimiento de a porciento.

Piensa cuidadosamente en la situación. ¿Cuál es un problema con este tipo de modelos?

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