Encontrando Derivadas

En la anterior lección descubrimos que, para muchas funciones f, la gráfica cerca de (x, f(x)) es similar a la línea con

Usar siempre este límite puede resultar tedioso. Afortunadamente, existen maneras más rápidas para calcular derivadas.

En esta lección, aprenderemos las reglas de las derivadas que nos permitirán calcular derivadas sin tener que usar los límites.

Usemos un ejemplo para entender las reglas de las derivadas.

Dos autos viajan a diferentes velocidades y la distancia recorrida por cada uno está siendo registrada. El segundo auto viaja al doble de rapidez que el primero. Esto significa que, en cualquier tiempo, el segundo auto ha recorrido el doble de la distancia del primero.

Creado con GeoGebra

[latex]d_{1} (t)[/latex] es la distancia recorrida por el auto 1 en el tiempo t y [latex]d_{2} (t)[/latex] es la distancia recorrida por el auto 2. Con la descripción de arriba, tenemos [latex]2d_{1}(t)=d_{2} (t)[/latex].

Teniendo en cuenta que las derivadas son tasas de variaciones, tenemos [latex]2d’_{1}(t)=d’_{2}(t)[/latex] debido a que la rapidez del segundo auto es el doble de la del primero.

Al unir todo esto, tenemos

Observa que el 2 fue movido afuera de la derivada. La regla general nos dice:

Esto implica que podemos mover las constantes hacia adentro o hacia afuera de las derivadas.

El auto 1 y el auto 2 viajan una distancia de [latex]d_{1} (t)[/latex] y [latex]d_{2} (t)[/latex], respectivamente, en el tiempo t. Sus rapideces son [latex]d’_{1} (t)[/latex] y [latex]d’_2 (t)[/latex].

Creado con GeoGebra

Ahora estamos sumando sus distancias recorridas, de tal forma que en el tiempo t, ambos autos han recorrido un total de [latex]d_{1} (t)+d_{2} (t)[/latex] metros con sus tasas de variación combinadas [latex]d’_{1} (t)+d’_2 (t)[/latex].

Esta tasa de variación es igual a

¿Cuál regla de derivadas describe a esto?

Estas dos reglas son muy útiles para sacar las derivadas de polinomios como

Aquí, la derivada está siendo sacada de todo el polinomio [latex]p(x)=3{{x}^2}+x+1[/latex]. Por ejemplo, [latex]\frac{d}{dx} \left[x\right]=1[/latex] debido a que la línea y=x tiene pendiente 1.

Si es que la derivada de x² en x=1 es 2, ¿a qué es igual [latex]p'(1)[/latex]?

Veamos cómo supimos que la derivada de x² en x=1 es 2.

El siguiente cuadrado tiene lados de longitud x. El área A es x×x=x². Si es que estiramos al cuadrado de tal forma que la longitud de un lado es x+∆x, el área cambia a A+∆A.

Cuando tenemos que ∆x es muy pequeño, la tasa a la cual A cambia al estirar x es

Esto es similar a [latex]\frac{d}{dx} \left[{{x}^2}\right][/latex].

Estima la razón [latex]\frac{\Delta A}{\Delta x}[/latex] usando geometría y el cuadrado de arriba. Ignora el área del cuadrado pequeño ya que estamos asumiendo que ∆x es muy pequeño.

Si es que hacemos que ∆x→0 en el anterior problema, el estimado de 2x para la derivada [latex]\frac{d}{dt} \left[{{x}^2} \right][/latex] se vuelve exacto.

Este es un caso especial de la regla del producto general, la cual también derivaremos usando geometría.

Ahora tenemos un rectángulo con lados de longitudes f(x) y g(x).

Si es que usamos la entrada x+∆x, en donde ∆x>0 es muy pequeño, obtendremos un rectángulo ligeramente más grande:

Entonces, tenemos ∆f=f(x+∆x)-f(x), ∆g=g(x+∆x)-g(x). Similar al problema anterior, podemos ignorar el rectángulo pequeño de la esquina inferior derecha ya que ∆x es muy pequeño.

Encuentra la regla del producto que relaciona [latex]\frac{d}{dx} \left[f(x)g(x)\right][/latex] a [latex]f,~g,~f’,~g'[/latex].

Usando la regla del producto, podemos obtener la regla de la potencia.

Usa la regla del producto para encontrar [latex]\frac{d}{dx} \left[{{x}^3}\right][/latex] dado que sabemos que [latex]\frac{d}{dx} \left[x\right]=1[/latex] y que [latex]\frac{d}{dx} \left[{{x}^2} \right]=2x[/latex].

Dado que [latex]{{x}^n}=x\times {{x}^{n-1}}[/latex], podemos usar la regla del producto repetidas veces para encontrar

Esta es la regla de la potencia. Podemos generalizar esta regla para cualquier número real a:

Esto es todo lo que necesitamos para calcular la derivada de cualquier polinomio.

Usa las reglas de la suma, constante y potencia para encontrar la derivada del siguiente polinomio.

[latex]p(x)={{x}^4}+3{{x}^3}-5x+3[/latex]

En los anteriores problemas, establecimos un proceso que podemos seguir para calcular la derivada de cualquier polinomio:

La regla de la suma nos dice que

Vimos que la derivada de una constante es 0, por lo tanto [latex]\frac{d}{dx} \left[a_{0}\right]=0[/latex].

Usando la regla de la constante nos dice,

Con la regla de la potencia, podemos calcular todas las derivadas:

Las técnicas de derivación que hemos visto hasta ahora son útiles con muchas funciones, pero no con todas. Por ejemplo, para diferenciar al polinomio [latex]p(x)={{({{x}^3}-2x+5)}^{50}}[/latex] con el proceso que vimos en la anterior página, tendríamos que expandir el totalmente el polinomio, lo cual sería un proceso muy tedioso.

Para estos casos, podemos usar la regla de la cadena, la cual nos permite simplificar el proceso de derivación de este tipo de funciones.

Si es que tenemos que y depende de x a través de un intermediario llamado u, un cambio en x produce un cambio en u, lo que a la vez produce un cambio en y.

Podemos pensar en x, u y y como engranajes.

El engranaje x está conectado a un motor, es la variable independiente. Al hacerla girar, hace que el engranaje del medio, u, también se mueva, lo que a la vez produce rotación en y.

[latex]\frac{du}{dx}[/latex] es el cambio relativo de u con respecto a x, lo cual mide qué tan rápido gira u gracias a x. De igual forma, [latex]\frac{dy}{du}[/latex] es el cambio relativo de y debido a cambios en u y es el ritmo de rotación causado de y por la rotación de u.

En la siguiente interactiva, puedes cambiar los radios de engranaje [latex]r_{x},~r_{y}[/latex] y [latex]r_{z}[/latex]. Encuentra una relación entre [latex]\frac{dy}{dx},~\frac{dy}{du}[/latex] y [latex]\frac{du}{dx}[/latex].

Creado con GeoGebra

En la anterior pregunta, obtuvimos una intuición de la regla de la cadena. Si es que y depende de x a través de u, entonces tenemos

A pesar de que esto no es completamente correcto, podemos pensar en la regla de la cadena como fracciones en donde las du se cancelan.

Con la regla de la cadena, podemos calcular derivadas de composiciones de funciones. Por ejemplo, al tener a g(x) dentro de f, tenemos la nueva función [latex](f\circ g)(x)=f(g(x))[/latex] y su derivada puede ser encontrada de la siguiente manera:

Encontremos la derivada del polinomio que vimos anteriormente usando la regla de la cadena:

[latex]p(x)={{({{x}^3}-2x+5)}^{50}}[/latex]

Usa [latex]u={{x}^3}-2x+5[/latex] y [latex]y={{u}^{50}}[/latex] y encuentra [latex]p'(x)[/latex].