Encontrando Integrales

Las integrales definidas son definidas por un límite de las sumas de Riemann que vimos en la anterior lección. Sin embargo, las integrales casi nunca son calculadas usando estos límites.

En esta lección, uniremos a las integrales definidas y a las antiderivadas con el teorema fundamental del cálculo.

Veremos que, el proceso de calcular [latex]\int_{a}^{b}f(x) dx[/latex] se simplifica y facilita al no tener que calcular límites.

Un grupo de ingenieros modificaron un auto de fórmula 1 al adaptarle una tobera¹ para incrementar su velocidad.

Nota 1: Una tobera es un dispositivo que convierte la energía térmica y de presión de un fluido en energía cinética. Es usada en cohetes.

El auto enciende el motor y la tobera cada ∆t>0 segundos para ganar impulsos casi instantáneos en velocidad.

Usaremos una versión simplificada de este problema que nos ayudará a entender a las integrales definidas.

Podemos asumir que la velocidad del auto es constante entre los momentos en los que el motor y la tobera son encendidos, entonces, tenemos

Si es que tenemos que n es un número positivo entero, ¿cuál es la distancia que el auto recorrería en t=n∆t segundos?

La distancia total viajada por el auto en n∆t es [latex]\sum_{i=0}^{n-1} v_{i} \Delta t[/latex]. Esto se ve como una suma de Riemann por lo que usaremos un poco de geometría para pensar en esto.

¿Cuál de las siguientes tiene un área que es igual a la distancia total viajada?

La distancia viajada por el auto después de t=n∆t segundos es [latex]\sum_{i=0}^{n-1} v_{i} \Delta t[/latex], lo cual es igual al área delimitada por la curva de velocidad.

Si es que x(t) es la posición de cualquier objeto moviéndose en 1D siempre hacia adelante, esto significa que [latex]v(t)=x'(t)>0[/latex].

¿Cuál es la relación general entre x(t) y su velocidad [latex]x'(t)=v(t)[/latex]?

La fórmula [latex]x(b)-x(a)=\int_{a}^{b}v(t) dt[/latex] sigue siendo verdadera aún si es que el objeto se da la vuelta y viaja en dirección contraria, sin embargo, no podemos interpretarla como la distancia total viajada.

Recuerda el movimiento de la esfera:

Creado con GeoGebra

Si es que fue lanzada en t=a y regresa en t=b, h(b)-h(a)=0 a pesar de que sí se movió en el aire. Esto es debido a que, para objetos que se dan la vuelta y viajan en dirección opuesta, x(b)-x(a) es el desplazamiento², no la distancia viajada.

Nota 2: El desplazamiento es el cambio de posición de un objeto.

¿Qué debemos integrar en vez de v(t) para encontrar la distancia total?

En las anteriores preguntas vimos que, el desplazamiento de un objeto moviéndose en 1D es

Esto es verdadero incluso si es que estamos integrando cualquier función que no se relacione con el movimiento:

Este es el teorema fundamental del cálculo. Este teorema nos permite calcular todo tipo de integrales sin la necesidad de tener que usar los límites de las sumas de Riemann.

Veamos lo útil que puede resultar el teorema fundamental del cálculo al calcular la integral [latex]\int_{0}^{1} {{x}^2} dx[/latex].

El teorema fundamental del cálculo nos dará una respuesta si es que podemos identificar una función f de tal forma que [latex]f'(x)={{x}^2}[/latex]:

Necesitamos una antiderivada de x². ¿Cuál es de las siguientes es una antiderivada de x²?

Vimos que, el teorema fundamental del cálculo simplifica la integración definida. Si es que podemos encontrar las antiderivadas, esto se reduce a aritmética:

Usando la integral [latex]\int  {{x}^2} dx=\frac{1}{3} {{x}^3}+C[/latex] junto al teorema fundamental del cálculo, tenemos

La siguiente esfera es lanzada en t=0 y regresa 2.4 segundos después. ¿Cuál es la distancia total viajada?

Creado con GeoGebra

En esta lección, descubrimos el teorema fundamental del cálculo al combinar el aspecto geométrico de la integral definida con un problema de movimiento:

Este teorema nos dice que la integral definida de f sobre un intervalo es la diferencia entre los valores de una antiderivada en los puntos extremos.