Encontrando Límites

En la anterior lección, exploramos los límites usando una idea intuitiva.

Vimos que, no podemos confiar completamente en las computadoras para determinar el valor verdadero de ciertos límites.

En esta lección, aprenderemos cómo calcular límites. Para esto, introduciremos el concepto de continuidad que nos ayudará a determinar el verdadero valor de un límite.

Para empezar explorando el concepto de continuidad, veamos el siguiente ejemplo:

¿Cuál es la diferencia entre las siguientes funciones?

Esta idea puede ser pensada intuitivamente como algo que no puede suceder en un punto a en el dominio de f si es que los valores de f están muy cerca a f(a) cuando la entrada está cerca a a.

Una función es continua en a si es que

Esto puede ser pensado como trazar la gráfica de f sin levantar el lápiz del papel.

Usando esto, podemos usar lo siguiente para calcular límites:

¿Cuál de las siguientes gráficas es continua en todos lados?

Los límites nos ayudan a medir la inclinación de la parábola y=x² en el punto (a, a²) al evaluar el siguiente límite. Estudiaremos los detalles de esto en la sección de derivadas, pero por ahora intentemos evaluar el límite:

en donde, a es un número fijo.

¿Es la función f(x) continua en todos lados?

En la anterior pregunta vimos que, [latex]f(x)=\frac{{{(a+x)}^2}-{{a}^2}}{x}[/latex] no es continua.

Podemos usar álgebra cuando x=0 y así encontrar un valor de la función para este punto.

Al expandir el binomio, tenemos (a+x)²=a²+2ax+x².

¿Cuál es la función simplificada de f(x) para x≠0?

Siempre y cuando tengamos x≠0, la función f(x) se simplifica a x+2a.

Ten en cuenta que sí podemos sustituir x=0 en la expresión x+2a. Usando esto, podemos encontrar el único valor que puede ser asignado a f en x=0. ¿cuál es ese valor?

En las anteriores preguntas, encontramos que la función [latex]f(x)=\frac{{{(a+x)}^2}-{{a}^2}}{x}[/latex] no es continua en x=0, pero podemos hacer que sea continua si es que definimos f(0)=2a:

Esta función puede ser trazada sin levantar el lápiz del papel.

Más adelante veremos que, [/latex]\[ \lim_{x\to 0} f(x) \][/latex] mide la tasa de variación. Pero ahora ya sabemos cómo encontrarlo:

La mayoría de los límites son encontrados de esta forma al reescribir a f en una forma en la que podemos introducir el punto límite.

Ya nos hemos familiarizado con la continuidad como una manera de calcular límites.

En el curso de Cálculo Diferencial, aprenderás a usar continuidad y álgebra para calcular límites. Sin embargo, en este curso nos enfocaremos en las ideas esenciales del cálculo, por lo que exploraremos el teorema del valor intermedio como otra consecuencia de continuidad:

Eso significa que si es que f es continua y su gráfica corta a las líneas y=A y y=C, tiene que haber por lo menos una entrada a con f(a)=B.

Una aplicación del teorema del valor intermedio (TVI) es la facilitación del proceso de encontrar raíces reales de ciertos polinomios. Por ejemplo, al usar valores iniciales de x para f(x)=x³+3x-3, podemos obtener aproximaciones e intervalos en donde esperamos que se encuentre la solución real f(x)=0.

Aplica en TVI para determinar cuál de los intervalos contiene una solución real de f(x)=0.

La continuidad también nos lleva al Teorema del valor extremo (TVE), el cual indica que una función continua f en [a, b] debe tener un valor más grande y un valor más pequeño.

El valor más grande o máximo, es el punto más alto en la gráfica y el valor más pequeño o mínimo es el valor más bajo.

¿Cuál de las siguientes funciones tiene un máximo y un mínimo garantizados en el intervalo [0, 1]?

En el anterior problema, usamos el TVE para conocer si es que una función tiene valores máximos y mínimos. El TVE es útil para determinar esto, sin embargo, no nos ayuda a encontrar estos valores exactos. Esto es algo que podemos hacer al usar las derivadas.

En la próxima sección, estudiaremos las derivadas y veremos que son extremadamente útiles para problemas de optimización. Usaremos las derivadas para encontrar los valores extremos.

Las últimas dos lecciones de esta sección se enfocarán en definir más precisamente a los límites. Si eso es algo en lo que no estás interesado, puedes continuar a la sección sobre derivadas ya que has aprendido los conceptos esenciales sobre límites para enfrentarte a las derivadas.