Escribiendo Ecuaciones de Líneas

La línea que se muestra en la gráfica pasa sobre los puntos (0, 4) y (3, 1). ¿Cuál es la ecuación de la línea?

Podemos escribir ecuaciones de líneas de diferentes maneras. Todas las diferentes formas producen gráficas equivalentes. Sin embargo, algunas formas nos permiten ver ciertas características en las gráficas más claramente. En los siguientes problemas exploraremos las diferentes formas y las situaciones en las cuales son más útiles cada una.

Una de las formas más comunes y útiles de escribir la ecuación de una línea es la forma pendiente-intercepto.

La forma pendiente-intercepto de una línea es y=mx+b, en donde m es la pendiente y b es el intercepto en y. Una de las ventajas de esta forma es que la pendiente m está claramente representada y puede decirnos mucho sobre la línea.

Si es que aún necesitas práctica con la forma pendiente-intercepto de una línea, usa los siguientes ejemplos para reforzar tus conocimientos. Mueve los puntos blancos de tal forma que la gráfica represente a la ecuación mostrada. Cuando tengas la respuesta correcta, haz clic en “Verificar respuesta” y obtendrás un mensaje.

Creado con GeoGebra, por Tim Brzezinski

Una ventaja de la forma pendiente-intercepto¹ es que resulta muy fácil encontrar líneas paralelas.

Nota 1: La forma pendiente-intercepto de una línea es y=mx+b, en donde m es la pendiente y b es el intercepto en y de la línea.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones producen líneas paralelas?

Alejandro y Marcos tienen un negocio cada uno. El negocio de Alejandro le ha producido $2000 en ganancias hasta ahora y espera que le siga produciendo $200 en ganancias por mes. El negocio de Marcos es nuevo así que tiene $0 en ganancias hasta ahora y espera que le produzca $400 en ganancias por mes.

Las ganancias de Marcos están siendo superiores a las de Alejandro. ¿Cuánto dinero tendrán cuando los dos tengan la misma cantidad de ganancias?

Además de la forma pendiente-intercepto, también tenemos la forma estándar de una ecuación lineal, la cual es escrita así:

Ax+By=C

Si es que la forma pendiente-intercepto de una línea es [latex]y=\frac{3}{4} x+5[/latex], ¿cuál es su forma estándar?

Creado con GeoGebra

Si es que una línea está representada de las dos formas:

y=mx+b
Ax+By=C

teniendo en cuenta que A, B, C son números enteros diferentes de cero, ¿es posible tener que m=A y b=C?

Creado con GeoGebra

Si tenemos la ecuación 2x+3y=5, y la dividimos por 5:

¿Cuál es el intercepto³ en x y el intercepto en y en esta ecuación?

Nota 3: Los interceptos en x de una gráfica son los puntos en los cuales la gráfica cruza al eje x.

Nota 4: Los interceptos en y de una gráfica son los puntos en los cuales la gráfica cruza al eje y.

En la anterior pregunta vimos que, en la forma estándar Ax+By=C, el intercepto en x de la gráfica es [latex](\frac{C}{A},0)[/latex] y el intercepto en y es [latex](0,\frac{C}{B})[/latex]. Usa esto para obtener la gráfica de las ecuaciones en los siguientes ejemplos. Mueve los puntos blancos de tal forma que obtengas la gráfica de la ecuación. Cuando tengas la respuesta correcta, haz clic en “Verificar respuesta” y obtendrás un mensaje.

Creado con GeoGebra, por Tim Brzezinski

Otra forma en la cual una línea puede ser escrita es la forma punto-pendiente, frecuentemente se la escribe así y=m(x-h)+k. Esta forma resulta muy útil cuando queremos usar la pendiente m y las coordenadas de un punto (h, k) para escribir la ecuación de una línea.

Por ejemplo, si una línea tiene una pendiente de 3 y atraviesa el punto (5, 4), podemos escribir la ecuación de la línea así:

y=3(x-5)+4

Si queremos, podemos simplificar la ecuación y escribirla en la forma pendiente-intercepto:

y=3(x-5)+4
y=3x-15+4
y=3x-11

Ten en cuenta que la forma punto-pendiente a veces también se la escribe así:

[latex]y-y_{0}=m(x-x_{0})[/latex]

En donde m es la pendiente y [latex](x_{0},~y_{0})[/latex] es el punto en la línea.

Pero la forma presentada arriba y la de la siguiente gráfica interactiva resulta más útil cuando estamos trabajando con funciones.

Creado con GeoGebra

¿Cuál ecuación representa la línea que atraviesa los puntos (2, 3) y (7, 13)?

Selecciona una o más

Hay muchas más formas de ecuaciones de líneas, pero las que hemos visto aquí son las más usadas y las que presentan mayor utilidad.

• La forma pendiente-intercepto es útil cuando conoces la pendiente, representada por m y el intercepto en y representado por b.

y=mx+b

• La forma estándar es útil cuando quieres comunicar fácilmente los interceptos de x y de y.

Ax+By=C

A, B, C deben ser números enteros y generalmente diferentes de cero. El intercepto en x es [latex] (\frac{C}{A},0)[/latex] y el intercepto en y es [latex](0,\frac{C}{B})[/latex].

• La forma punto-pendiente es útil cuando conoces la pendiente, representada por m y cualquier punto en la línea, representado por (h, k) .

y=m(x-h)+k

Ten en cuenta que la forma punto-pendiente a veces también se la escribe así:

[latex]y-y_{0}=m(x-x_{0})[/latex]

En donde m es la pendiente y [latex](x_{0},~y_{0})[/latex] es el punto en la línea.