Exponentes Fraccionarios

Tenemos que x es un número positivo y f(x)=x³. Queremos escribir la función inversa¹, es decir, dado x=y³, queremos despejar la y. Podemos hacer esto en un sólo paso. ¿Cuál de las siguientes opciones funcionará?

Nota 1: Dada una función f(x), una función inversa [latex]{{f}^{-1}} (x)[/latex] es la reversa de la función. La inversa intercambia las entradas y las salidas de la función original. En la gráfica, cualquier punto (x, y) en la función original se volverá (y, x) en la inversa.

En esta lección exploraremos lo que pasa con [latex]f(x)={{x}^n}[/latex] cuando n es un número fraccionario.

El proceso que usamos en el anterior problema aplica para cualquier función exponencial [latex]g(x)={{x}^{\frac{1}{n}}}[/latex].

La inversa completa de y=x² no es necesariamente una función. Dado que la parábola original falla la prueba de la línea horizontal², la función raíz cuadrada sólo incluye la mitad superior de la gráfica. Esta es la razón por la cual en la anterior pregunta se especificó que x era positivo. Estábamos encontrando la inversa de la mitad derecha de la parábola únicamente.

Nota 2: Las funciones tienen inversas que son funciones si es que pasan la prueba de la línea horizontal, lo que significa que una línea horizontal dibujada en cualquier lugar en la gráfica de la función intersecará la gráfica sólo una vez.

¿Es el rango de [latex]f(x)={{x}^{\frac{1}{2}}}[/latex] , el mismo que el rango de [latex]g(x)={{x}^{\frac{1}{3}}}[/latex]?

¿Cuál es una descripción para la función [latex]f(x)={{x}^{\frac{3}{4}}}[/latex]?

A) Primero tomamos la raíz cuarta de x, luego lo elevamos al cubo.

B) Primero lo elevamos x al cubo, luego tomamos la raíz cuarta.

C) A y B son correctas.

Si es que tenemos que x es cualquier número real, ¿es la siguiente expresión verdadera?

Si es que para valores específicos de a y n la gráfica de [latex]f(x)=a{{x}^n}[/latex], contiene el punto (3, 18). ¿Cuál de los siguientes puntos debe estar en la gráfica de [latex]g(x)={{\left(\frac{x}{a}\right)}^{\frac{1}{n}}}[/latex]?

El dominio de f(x)=x² es todos los números reales.

¿Cuál es el dominio de [latex]g(x)={{\left({{({{x}^{\frac{1}{2}}})}^2}\right)}^2}[/latex]?