Exponentes Negativos

Dado que tenemos que [latex]{{3}^4}\times {{3}^5}={{3}^9}[/latex], ¿cuál es el resultado de [latex]{{3}^3}\times {{3}^{-3}}[/latex]?

En las anteriores lecciones vimos que los exponentes expresan multiplicación repetida.

Luego, también vimos que cualquier número o valor que tiene un exponente de cero, es igual a uno.

Ahora, veremos lo que pasa cuando intentamos expandir exponentes negativos.

En los siguientes problemas, exploraremos las reglas de los exponentes para determinar una representación consistente de los exponentes negativos.

En el anterior problema vimos que [latex]{{3}^3}\times {{3}^{-3}}=1[/latex], por lo tanto, [latex]27\times {{3}^{-3}}=1[/latex]. ¿Cuál es el valor de [latex]{{3}^{-3}}[/latex]?

Como podemos observar, cuando tenemos exponentes positivos, cada vez que el exponente aumenta por 1, representa multiplicación por la base. Y podemos ver que cada vez que el exponente reduce por 1, tenemos que dividir por la base, por 3 en este caso. Por lo tanto, [latex]{{3}^{-3}}[/latex] indica que estamos dividiendo por 3, tres veces.

Tanto la regla del producto como la regla del cociente² siguen aplicando cuando tenemos exponentes negativos.

Nota 2: La regla del cociente indica que cuando multiplicamos potencias con la misma base, podemos restar los exponentes. Por ejemplo, [latex]\frac{{{x}^a}}{{{x}^b}} ={{x}^{a-b}}[/latex].

Por ejemplo, si queremos encontrar el valor de [latex](3)({{2}^3})({{2}^{-2}})[/latex]. Sabemos que empezamos con 3×8 y luego dividimos por 2 dos veces. Tenemos lo siguiente:

También podemos resolver este problema aplicando las reglas de los exponentes:

¿Qué es equivalente a la siguiente expresión?

¿Cuál de las dos expresiones es más grande?

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

Los siguientes laberintos contienen varios espacios rojos y verdes, cada uno mostrando una expresión algebraica. Mueve el punto a través del laberinto al hacer clic en un espacio verde que está al lado del punto. Cuando te muevas a un nuevo espacio, multiplicarás por la expresión escrita allí.

¿Puedes mover el punto a través de cada laberinto para alcanzar el objetivo?

Creado con GeoGebra, por Dr. Fisher

Creado con GeoGebra, por Dr. Fisher

Creado con GeoGebra, por Dr. Fisher

Si que tenemos que a=2 y b=3, ¿cuál de las siguientes expresiones es más grande?

Si es que tenemos que x>1 y que [latex]{{x}^{-y}}<{{x}^{-z}}[/latex], en donde y y z son positivos, ¿cuál expresión es correcta sobre y y z?