Factoriales

En la anterior lección vimos que podemos usar el principio fundamental del conteo¹ para encontrar el número de posibilidades en una situación. Por ejemplo, si es que tenemos una contraseña de 4 dígitos en la cual podemos usar números del 0 al 3 y podemos usar cada número sólo una vez, tendremos:

4×3×2×1 posibilidades

Nota 1: El principio fundamental del conteo es una regla usada para contar el número total de posibles resultados en una situación. Indica que, si es que hay n maneras de hacer algo y m maneras de hacer algo más después de eso, entonces hay n×m maneras de realizar ambas acciones.

Una manera corta para escribir la multiplicación de todos los números del 1 hasta n es usando factoriales², los números factoriales son escritos usando un signo de exclamación: n!. Por lo tanto, la multiplicación que tenemos arriba puede ser escrita así: 4!

Nota 2: Para todos los números enteros positivos, n factorial, n! es el producto de todos los números positivos menor que o iguales a n:
n!=n(n-1)(n-2)⋯(2)(1).

En esta lección exploraremos las diferentes maneras de expresar los números factoriales y su comportamiento.

En la siguiente tabla podemos ver las potencias de dos y la secuencia factorial juntas:

Observa que las potencias de 2 empiezan son más grandes al principio, pero se vuelven más pequeñas a partir de la fila 4.

¿Es posible para la secuencia exponencial, alcanzar a la secuencia factorial en algún punto?

En el anterior problema comparamos la secuencia factorial con la secuencia exponencial de potencias de 2. ¿Es verdad que la secuencia factorial siempre llegará a ser más grande que cualquier secuencia exponencial, por ejemplo, de 5000?

Los factoriales no siempre pueden escribirse en forma expandida, por ejemplo, tratar de escribir todos los términos del producto de 500!, tomaría demasiado espacio. Pero podemos parcialmente expandir los factoriales usando factoriales más pequeños:

Tomando en cuenta esto, ¿a qué es igual 5!?

Vimos que un número factorial contiene factoriales de números más pequeños. Por ejemplo:

5!=5×4!

Ahora, observa los siguientes factoriales:

Teniendo en cuenta la relación 1!=1×0!, ¿a qué es igual 0!?

Las secuencias factoriales crecen rápidamente. Por ejemplo, 10! ya es más de un millón.

Un número factorial como 8! ya es muy grande y los factoriales crecen rápido. ¿Cuál es la diferencia entre 8! y 7!? ¿A qué es igual 8!-7!?

Las restas entre factoriales siguen un patrón. Por ejemplo, la diferencia entre 6! y 5! es:

6!-5!=6×5!-5!
=(6-1)5!
=5×5!

De igual forma para 8!-7!, tenemos:

8!-7!=8×7!-7!
=(8-1)7!
=7×7!

¿Cuál expresión describe el patrón general?

En el anterior problema aprendimos una expresión para restas de factoriales:

(n+1)!-n!=n×n!

Para que esta fórmula y otras fórmulas funcionen cuando n=0, tenemos que 0!=1.

Usando la definición de 0!=1, ¿cuál es la equivalencia de la siguiente expresión?

¿Cuál es la equivalencia de la siguiente expresión?

Vimos que un número factorial está relacionado a factoriales más pequeños a través de multiplicación. Los factoriales también pueden ser relacionados a factoriales más grandes a través de la división.

En la siguiente tabla podemos ver los factoriales de los números desde el 5 hasta el 8:

Basándose en la tabla, ¿a qué es igual 4!?