Funciones Inversas

La inversa de una función intercambia los valores de las entradas y de las salidas. Por ejemplo, si en una función tenemos los puntos (x, y), la inversa de la función contendrá los puntos (y, x).

La inversa de una función puede ser muy útil ya que puede cancelar la función original.

También hay ciertas operaciones que pueden ser definidas de mejor manera usando las funciones inversas. Miraremos estos casos en las próximas lecciones.

Si es que tenemos [latex]f(x)=\frac{9}{x+2}[/latex], ¿cuál punto estará en la inversa¹ de f(x)?

Nota 1: Dada una función f(x), una función inversa [latex]{{f}^{-1}} (x)[/latex] es la revesa de la función. La inversa intercambia las entradas por las salidas en la función original. En la gráfica, cualquier punto (x, y) en la función original será (y, x) en la inversa.

¿Es el siguiente enunciado verdadero?

Si es que tenemos f(x)=x² y la salida es 49, la entrada sólo puede ser 7.

Recordando que las funciones son relaciones en las cuales cada entrada produce exactamente una salida. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene una inversa que no es una función?

Ten en cuenta que las funciones son relaciones en las cuales cada valor de entrada produce exactamente un valor de salida.

En el anterior problema vimos que f(x)=x² tiene una inversa que no es una función. Pero, todas las gráficas que se muestran abajo tienen una inversa que es una función, siempre y cuando x sea diferente de cero.

Creado con GeoGebra

¿Cuál de los siguientes procedimientos nos ayudará a verificar que la función tiene una inversa que también es función?

A) Observar si es que la gráfica es simétrica con respecto al eje y.

B) Dibujar una línea horizontal a través de la gráfica que se cruce con la gráfica sólo una vez.

C) Dibujar una línea vertical través de la gráfica que se cruce con la gráfica sólo una vez.

En la imagen de abajo podemos ver una colección de puntos graficados en el plano cartesiano.

Si es que intercambiamos las coordenadas x y y, ¿cómo se vería la imagen?

En el anterior problema vimos que los dos aviones son las gráficas inversas de cada uno.

Geométricamente, ¿cómo están relacionados las inversas?

Una inversa intercambia los valores de las entradas y las salidas de una función ya que revierte los efectos de la función original.

Por ejemplo, si tenemos la función [latex]f(x)=3x+4[/latex], significa que la función está multiplicando por 3 a las entradas y sumándoles 4. La inversa restará 4 y dividirá por 3: [latex]g(x)=\frac{x-4}{3}[/latex]. Observa que la función g(x) revierte el efecto de la función f(x).

Las inversas son reflexiones con respecto a la línea y=x ya que para cualquier punto (x, y) en la gráfica de la función, el punto (y, x) estará en la gráfica de la inversa de la función.

Las funciones tienen inversas que son funciones si es que pasan la prueba de la línea horizontal, es decir que cualquier línea horizontal dibujada en la gráfica de la función sólo atravesará la función una vez, ya que esto significa que cada salida sólo tiene una entrada.

Recordando que la inversa de la función f revierte los efectos de la función f. ¿Cuál es la función inversa de la siguiente función?

f(x)=5x-3

¿Cuál es la inversa de f(x)=x²+3?

Hemos visto que las inversas son reflexiones con respecto a la línea y=x.

Observemos la función f(x)=x². Podemos ver la gráfica de f(x)=x² y su inversa en la imagen.

Observa que la gráfica de la inversa de f(x), que se muestra en verde, no es una función.

La inversa de f(x) puede ser una función si es que restringimos el dominio para ser o bien todos los números iguales o mayores a cero o todos los números iguales y menores a cero.

Por ejemplo, si restringimos el dominio de la inversa de f(x)=x² a todos los números mayores o iguales a cero tenemos: