Hipérbolas

Cuando un avión de caza se mueve rápidamente y acelera para acercarse cada vez más a la velocidad del sonido, el avión se aproxima a alcanzar los frentes de onda de las ondas de sonido que emite.

Cuando el avión sobrepasa la velocidad del sonido, rebasa a los frentes de onda, dejando un rastro de ellas detrás en forma de un cono. La superficie del cono forma lo que se denomina onda de choque. Si es que estuvieras ubicado en un lugar por donde la onda de choque pasa, escucharías una explosión sónica muy fuerte.

Puedes visualizar esto en la siguiente interactiva. La velocidad del avión está representada como una razón de la velocidad del sonido, es decir, 0.6 significa que el avión viaja a 60% la velocidad del sonido y 1 significa que viaja a la velocidad del sonido. Manipula la velocidad y observa el cono que se forma cuando el avión viaja más rápido que la velocidad del sonido.

Creado con GeoGebra

Una hipérbola está compuesta de dos mitades, sin embargo, en la mayoría de las situaciones de la vida real, usualmente sólo usamos o vemos una de las mitades. Puedes observar esto en la interactiva que se muestra abajo, en donde representamos al avión con el punto rojo.

Cuando el avión se mueve paralelo al suelo, es decir, a 0° con respecto al suelo, el cono de onda de choque interseca el suelo. Si es que imaginamos un cono idéntico en la dirección opuesta, este cono también intersecaría el suelo y ambas intersecciones nos darían la hipérbola completa.

Si es que el avión se inclina hacia arriba y empieza a subir a un ángulo lo suficientemente inclinado, el otro cono ya no intersecará el suelo. Al suceder esto, obtendremos una elipse y si el avión sube verticalmente, obtendremos un círculo.

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El punto en una mitad de la hipérbola que está más cerca a la otra mitad se conoce como el vértice. Otros dos puntos usados para definir a la hipérbola son denominados los focos de la parábola. Si es que encontramos la distancia desde un punto en la hipérbola hasta cada foco y restamos esas distancias, el valor absoluto de esa diferencia será siempre el mismo sin importar en donde ubiquemos al punto en la hipérbola. Puedes verificar esta idea con la siguiente interactiva.

Creado con GeoGebra, por Tim Brzezinski

En las siguientes preguntas, derivaremos una fórmula para una hipérbola.

Para las siguientes preguntas, usaremos las siguientes definiciones:

• El punto rojo en la hipérbola tiene coordenadas (x, y).

• La distancia desde el centro de la hipérbola hasta cualquier vértice es a.

• La distancia desde el centro de la hipérbola hasta cualquier foco es c.

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¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la diferencia de las distancias desde un punto en la hipérbola hasta los dos focos?

Tenemos:

• La distancia desde el centro de la hipérbola hasta cualquier vértice es a.

• La distancia desde el centro de la hipérbola hasta cualquier foco es c.

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¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la diferencia de las distancias desde un vértice hasta los dos focos?

La siguiente ecuación es verdadera para todos los puntos (x, y) en la parte derecha de la hipérbola.

¿Es esto verdadero o falso?

Manipulemos algebraicamente la ecuación que obtuvimos. Movamos uno de los radicales al otro lado de la ecuación, elevemos al cuadrado y expandamos los binomios cuadrados. Al hacer esto vemos que, a primera vista, la ecuación parece más complicada.

Sin embargo, esto hará que nuestra ecuación se simplifique. Si es que despejamos a [latex]4a\sqrt{{{(x-c)}^2}+{{y}^2}}[/latex] de un lado, ¿qué obtenemos del otro lado?

En la anterior pregunta, obtuvimos la siguiente ecuación:

Para reorganizar esta ecuación nuevamente, podemos dividir ambos lados por 4, elevar al cuadrado a ambos lados, expandir los binomios cuadrados:

Después de combinar términos semejantes, ¿cuál de las siguientes es verdadera?

En la anterior pregunta, obtuvimos la siguiente expresión

Cuando c y a son números positivos con c>a, ¿cómo se relacionan geométricamente a², c² y c²-a²?

Ahora, sustituyamos [latex]{{b}^2}={{c}^2}-{{a}^2}[/latex] en la ecuación [latex]{{x}^2} ({{c}^2}-{{a}^2})-{{a}^2} {{y}^2}={{a}^2} ({{c}^2}-{{a}^2})[/latex]:

Al dividir ambos lados por [latex]{{a}^2} {{b}^2}[/latex], obtenemos:

Creado con GeoGebra

La hipérbola es el conjunto de todos los puntos, en los cuales el valor absoluto de las diferencias de las distancias desde el punto hasta cualquier foco permanece constante. Esta definición nos da dos mitades o dos partes de la hipérbola.

Los dos puntos en cada parte que están más cerca de la otra mitad son llamados los vértices. Cuando se ubican en una línea horizontal, la distancia desde cualquier vértice hasta el centro de la hipérbola es representado con a y la distancia desde cualquier foco hasta el centro es representado con c. Dado que los focos están más alejados del centro que los vértices, tenemos que c es mayor a a y existe un número b que satisface [latex]{{a}^2}+{{b}^2}={{c}^2}[/latex]. La gráfica de la parábola es el conjunto de todos los puntos (x, y) que satisfacen a

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¿Cuál de las siguientes hipérbolas tendrá la distancia más grande entre sus dos mitades?

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