Identidades Par-Impar

En esta lección, aprenderemos sobre las identidades par-impar. Pero primero hagamos una revisión de las funciones par y funciones impares.

f(x)=x² es una función par. En la siguiente visualización puedes experimentar con las entradas de a (punto verde) y las entradas de –a (punto azul).

¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?

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f(x)=x³ es una función impar. En la siguiente visualización puedes experimentar con las entradas de a (punto verde) y las entradas de –a (punto azul).

¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?

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Para las funciones pares, las salidas de f(a) y f(-a) son las mismas. La gráfica de la función es simétrica con respecto al eje y.

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Para las funciones impares, las salidas de f(a) y f(-a) tienen la misma magnitud, pero tienen signos opuestos. La gráfica de la función es simétrica con respecto al origen, es decir, si es que rotamos la gráfica de arriba hacia abajo, tenemos la misma gráfica que la gráfica original.

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En este caso, las definiciones de par e impar vienen de los exponentes, por ejemplo, si todos los exponentes son pares, la función es par, [latex]y={{x}^4}+{{x}^2}[/latex] es par. Sin embargo, veremos que estas definiciones se aplican en otros casos diferentes a polinomios.

La gráfica de f(θ)=cos(θ) se muestra abajo. ¿Es la función par, impar o ninguna?

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La gráfica de f(θ)=sin(θ) se muestra abajo. ¿Es la función par, impar o ninguna?

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Dado que coseno es una función par, tenemos que:

Dado que seno es una función impar, tenemos que:

Estas son las identidades par e impar. Una entrada con signo negativo dentro de un coseno puede ser cancelada para escribirla como una entrada positiva y cuando tenemos una entrada con signo negativo dentro de un seno, podemos sacar el signo negativo afuera.

En el siguiente diagrama podemos ver que, la coordenada en x no cambia cuando θ se vuelve negativo. También podemos ver que, la coordenada en y se cambia de positivo a negativo cuando cambiamos el ángulo θ a –θ.

Usando las dos identidades que derivamos y la identidad del cociente, determina cuál expresión es equivalente a la siguiente expresión:

tan(-θ)

¿Cuál expresión es equivalente a la siguiente expresión?

cos⁡(60°-x)

En esta lección, aprendimos sobre las identidades par-impar:

• Coseno es una función par, lo que significa que cos⁡(-θ)=cos(θ) para cualquier ángulo θ.

• Seno es una función impar, lo que significa que sin⁡(-θ)=-sin(θ) para cualquier ángulo θ.

Cuando tenemos expresiones con cos⁡(-θ) y sin(-θ), podemos usar estas identidades para escribirlas en términos de cos(θ) y sin(θ).