Inclusión-Exclusión

En la anterior lección, vimos la regla de la suma para eventos mutualmente exclusivos. Sin embargo, muchas veces la mayoría de eventos están relacionados de alguna forma.

Si es que tenemos los eventos A y B en el espacio muestral, los cuales no son necesariamente mutualmente exclusivos,

la probabilidad de la unión de estos eventos, usando la regla de la suma generalizada es:

Esta regla generalizada es conocida como el principio de inclusión-exclusión.

Si es que lanzas una moneda y un dado estándar de seis lados, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda resulte en sellos, el dado resulte en 6 o que ambos eventos ocurran?

Una institución educativa sólo ofrece cursos de idiomas en francés y en inglés. Después de mirar las matrículas, se observa que 60% de estudiantes están en cursos de inglés, 30% de los estudiantes están en cursos de francés y 20% de los estudiantes no están en ningún curso de idiomas.

Si es que escogemos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante toma clases de inglés, pero no de francés?

En una Universidad, 40% de los estudiantes son mujeres y 50% de los estudiantes usan el transporte público. Si es que 30% de los estudiantes son mujeres y usan el transporte público, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar sea mujer o use el transporte público?

Usemos A, B y C para representar eventos en el espacio muestral que no son mutualmente exclusivos necesariamente.

La probabilidad de la unión de estos eventos P(A∪B∪C) es:

P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)

En el diagrama de Venn, podemos ver que esto tiene sentido.

Al incluir todos los contenidos de A, B y C, tenemos:

P(A)+P(B)+P(C)

Contaremos cada una de las regiones en azul dos veces y la región en verde tres veces. Para compensar, podemos restar cada una de las regiones en donde dos conjuntos coinciden:

P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)

Sin embargo, al hacer eso, hemos restado la porción del centro tres veces y originalmente fue contada tres veces. Entonces, hemos nulificado la región verde completamente. Para añadirla de vuelta, sumamos la intersección de las tres regiones:

P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)

Un grupo de biólogos están estudiando los genes A y B que están relacionados con enfermedades cardiacas en ratas. 12% de ratas tienen el gen A y 14% de ratas tienen el gen B. El grupo de biólogos encuentra que la incidencia de los genes no es ni mutualmente exclusiva ni independientes, 4% de las ratas tienen ambos genes.

¿Cuál es la probabilidad de que una rata tendrá por lo menos uno de los genes que se relacionan con la enfermedad cardiaca?