Integrales: Introducción

En la anterior lección vimos que, podemos usar las antiderivadas para revertir a las derivadas:

En esta lección, miraremos a las integrales, uno de los pilares del cálculo al igual que las derivadas. Empezaremos discutiendo porqué el signo ∫ es usado para antidiferenciación.

Usaremos geometría para entender a las integrales y veremos que son un tipo de límites que involucran sumatorias. Definiremos a la integral en términos del área de una figura, dividiremos a esta figura en muchas secciones delgadas y luego las uniremos para pensar en la integral como una suma.

Las integrales fueron inventadas para calcular áreas de figuras en el plano. Por esta razón, tiene sentido que entender las propiedades de áreas es una idea fundamental para entender las integrales.

En la siguiente interactiva, puedes manipular el valor de b, la posición del lado derecho de la región sombreada.

A medida que b cambia, el área también cambia. Esto significa que A es una función de b.

¿Cuál de las siguientes es verdad sobre la función de área A(b)?

Creado con GeoGebra

En la siguiente interactiva, el lado derecho de la región sombreada está fijo y el lado izquierdo, es decir a, puede variarse.

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Ahora tenemos que, el área A(a) es una función de a. ¿Qué es verdad sobre esta función a medida que incrementamos a?

En la siguiente interactiva, podemos variar ambos lados de la región sombreada.

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Ahora tenemos que el área A(a, b) depende en las dos variables a y b. Vimos que, cuando b está fija, el área decrece con a y cuando a está fija, el área incrementa con b.

Supongamos que cortamos al área a través de x=c que está entre x=a y x=b:

¿Cómo se relacionan A(a, c) y A(c, b) con A(a, b)?

Ahora, relacionemos A(a, b) directamente con f(x). Por ahora, dejemos a a=0 y nos enfocaremos en A(0, b) o A(b).

Si es que f es muy pequeño cerca a b, A no cambia mucho con un cambio pequeño en b, es decir, el espacio entre y=f(x) y el eje x es muy delgado, por lo que no contiene mucha área.

Si es que f es muy grande cerca a b, entonces A incrementa mucho cuando b es cambiada un poco.

Puedes observar estas dos características en la siguiente interactiva.

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Observa que A(b) incrementa más rápido cerca a b=0.54 en donde f es alto en comparación con b cerca 1.84 en donde f es bajo.

¿Cuál es la relación entre f y A(b)?

En la anterior pregunta, encontramos que [latex]A'(b)=f(b)[/latex]. Esto significa que A(b) es una antiderivada de f(b).

Podemos asumir que a<b, de tal forma que tenemos

Los valores superior e inferior en el signo de integral son denominados límites de integración. Estos límites nos indican que nos enfocamos en el área entre las líneas x=a y x=b.

La siguiente es la gráfica de [latex]f(x)=\sqrt{1-{{x}^2}}[/latex]:

Calcula el valor de la siguiente integral

Las integrales también tienen valores negativos. Entonces, la integral es la diferencia entre el área que f encierra encima del eje x y debajo.

Por ejemplo, la siguiente es la gráfica de seno en un periodo completo. La parte que está encima del eje x es igual a la parte que está debajo.

¿A qué es igual [latex]\int_{0}^{2\pi}\sin(x) dx[/latex]?

Ingresa un valor

Podemos dividir al intervalo [a, b] en subintervalos muy pequeños de igual tamaño: [latex]\left[a, b\right]=\left[x_{0},~x_{1}\right]\cup \ldots \cup\left[x_{n-1},~x_{n}\right][/latex].

En donde, [latex]x_{0}=a[/latex] y [latex]x_{n}=b[/latex]. Dado que las áreas se dividen, tenemos

Si es que incrementamos a n sin límites, la integral se convierte en un límite:

[latex]A(x_{i},~x_{i+1})[/latex] es aproximadamente igual a la altura promedio [latex]f(\frac{x_{i+1}+x_{i}}{2})[/latex] de f en el intervalo [latex]\left[x_{i},~x_{i+1}\right][/latex] multiplicado por el ancho [latex]x_{i+1}-x_{i}=\frac{b-a}{n}[/latex].

A medida que n→∞, esta aproximación se vuelve más precisa.

Las [latex]s_{n}[/latex] que vimos en la anterior pregunta se llaman sumas de Riemann. Más adelante probaremos que si es que f es una función continua, los límites de estas sumas sí existen.

Para no causar confusión al usar ∑ para representar una integral, usamos a ∫, la cual se ve como una ese larga, significando suma o sumatoria.

Las antiderivadas y las integrales están conectadas y por eso usamos a ∫ para representar a ambas.

Esto significa que, obtendremos mejor estimados para el área de f si es que usamos más rectángulos.

Veamos un ejemplo al encontrar el área de [latex]f(x)=\cos⁡(x)[/latex] entre 0 y [latex]\frac{\pi}{2}[/latex].

La siguiente animación nos da una idea de lo que el límite de las sumas puede lograr. Recuerda que [latex]a=x_{0}=0[/latex] y [latex]b=x_{n}=\frac{\pi}{2}[/latex].

Creado con GeoGebra

Luego veremos el límite a medida que el número de rectángulos tiende a infinito, pero por ahora, aproxima el área de f con la suma de Riemann [latex]s_{2}[/latex], es decir, el área estimada de f con dos rectángulos.

En esta lección vimos que, la integral definida de f en [a, b] es un límite de sumatorias finitas:

En la siguiente lección, clarificaremos la conexión entre las integrales definidas y las antiderivadas para así poder calcular integrales sin usar las sumas de Riemann.