Introducción a Crecimiento Exponencial

Imagina que empiezas con una hoja de papel, la cortas por la mitad y apilas los pedazos uno encima del otro. Ahora tienes dos pedazos de papel en una pila.

Si es que repites el proceso con la pila que obtuviste, es decir, si es que las cortas por la mitad y apilas los pedazos uno encima del otro, ahora, después del segundo corte tienes cuatro pedazos de papel.

Si es que este proceso pudiera repetirse tantas veces como sea necesario sin preocuparse por el tamaño del papel y asumiendo que una pila de 100 hojas es 1 cm, ¿cuántos cortes tomaría hasta que la altura de la pila exceda la altura de la pirámide de Guiza (139 metros)?

El patrón de cortes multiplica los números previos de papeles por 2, resultando en el patrón que se muestra abajo. Por ejemplo, 4 cortes son iguales a 2×2×2×2 o de igual forma a [latex]{{2}^4}[/latex].

Entonces, podemos condensar 2×2×…×2 en [latex]{{2}^n}[/latex], en donde n es el número de veces que está siendo multiplicado. Por lo tanto, [latex]f(n)={{2}^n}[/latex] es una función en donde n es el número de cortes y f(n) es el número de papeles. f en este caso es una función exponencial.

En el caso del problema anterior, sólo necesitamos saber cuántos pedazos de papel se necesitan para exceder la altura de 139 metros y luego encontrar la n más pequeña en donde f(n) es lo suficientemente grande.

Ahora puedes usar el control deslizante para ser más preciso con tus estimaciones.

Usando el mismo proceso de cortes como en la anterior pregunta, en donde 100 papeles tienen una altura de 1cm y queremos llegar a una altura de 139 metros, ¿cuántos cortes necesitamos?

Creado con GeoGebra

¿Cuántos cortes tomarán para llegar de Buenos Aires a Bogotá, cerca de 4650 kilómetros de distancia? Toma en cuenta que 100 papeles miden 1 centímetro.

Creado con GeoGebra

En esta lección, usamos el control deslizante para encontrar el valor de n que resultaría en la respuesta que buscamos.

Observa que el crecimiento exponencial crece rápidamente y podemos obtener números muy grandes con valores de n pequeños.

Creado con GeoGebra

Al final del problema anterior, resolvimos la ecuación:

Sin embargo, tuvimos que probar y verificar los valores usando el control deslizante. En las próximas lecciones, aprenderemos un método más general de resolver para el exponente.