Introducción a Secciones Cónicas

En el siguiente diagrama, un círculo es formado con la intersección de un plano que corta a un cono. Si es que inclinamos al plano por unos grados, ¿cuál nueva forma produciremos?

Las secciones cónicas son las curvas que son producidas al intersecar un plano con un cono doble.

Creado con GeoGebra, por Juan Carlos Ponce

Todas estas formas pueden ser expresadas algebraicamente sólo usando relaciones cuadráticas en x y y.

Todas las secciones cónicas pueden ser producidas por ecuaciones de la forma:

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

¿Cuál de las siguientes no puede ser producida al intersecar un plano con un par de conos?

La figura que vemos en la siguiente gráfica es una parábola. Una parábola puede ser creada al cortar a un cono con un plano, pero también puede ser generada al relacionar un punto, llamado el foco (el punto verde) y una línea, llamada la directriz (la línea roja) como se muestra en la ilustración.

Considera un punto P en la parábola. ¿A qué es igual la distancia entre P y el foco?

Creado con GeoGebra

Además de poder crear una parábola al intersecar un plano y un cono, también podemos construir una parábola al encontrar el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una línea y un punto.

La línea es denominada la directriz y el punto es denominado el foco. Cada punto en la parábola está a la misma distancia desde el foco que desde la directriz.

En esta y la próxima lección, aprenderemos a encontrar el foco y la directriz de la parábola descrita por la ecuación f(x)=x².

Dado el punto (P, P²) en la parábola y=x², en donde el punto (0, a) es el foco y la línea roja es la directriz, ¿cuál es el valor de b?

La distancia entre (P, P²) y (P, –q) es P²+q. ¿Cuál es la distancia entre (P, P²) y (0, q)?

Hemos visto que, la distancia entre un punto en la parábola y la directriz, debe ser la misma que la distancia entre el punto y el foco.

También vimos que la distancia [latex](P, ~{{P}^2})[/latex] y la directriz es [latex]{{P}^2}+q[/latex] y la distancia entre [latex](P,~{{P}^2})[/latex] y el foco es [latex]\sqrt{{{P}^2}+{{({{P}^2}-q)}^2}}[/latex].

Teniendo esto en cuenta, ¿cuál es el valor de q en la parábola [latex]f(x)={{x}^2}[/latex]?

En la anterior pregunta, vimos el foco y la directriz para la parábola más simple y=x². Ahora veamos una ecuación más general.

Si es que la parábola tiene un foco en (0, q) y la directriz en y=-q, entonces sabemos que todos los puntos que tengan la misma distancia desde estos dos puntos serán parte de la parábola.

Si es que tenemos que el punto (x, y) es parte de la parábola, su distancia desde la directriz será y+q y su distancia desde el foco será [latex]\sqrt{{{x}^2}+{{(y-q)}^2}}[/latex]. Igualando estas expresiones, tenemos:

Si es que consideramos trasladar esta gráfica horizontal o verticalmente al reemplazar x con (x-h) y y con (y-k), tenemos la siguiente ecuación:

En donde, (h, k) es el vértice de la parábola.

El foco y la directriz también son trasladados, por lo que el foco se encuentra en (0+h, q+k) y la directriz en y=-q+k.