La Fórmula Cuadrática

La función cuadrática es uno de los polinomios que hemos visto muy frecuentemente:

[latex]y=a{{x}^2}+bx+c[/latex]

Dado que la x aparece dos veces y también está elevada al cuadrado, muchas veces esta ecuación es difícil de resolver.

Afortunadamente, hay una manera de reescribir la ecuación de tal forma que x aparezca sólo una vez y nos facilite su resolución. En esta lección derivaremos una fórmula muy útil para resolver estos polinomios.

Podemos usar el método de completar el cuadrado para tomar una ecuación cuadrática¹ en donde x aparece dos veces, como:

[latex]{{x}^2}+bx+c=0[/latex]

y convertirla en una ecuación en donde x sólo aparece una vez, en la forma:

[latex]{{(x+d)}^2}+e=0[/latex]

Nota 1: Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de grado 2. Su forma estándar es [latex]a{{x}^2}+bx+c[/latex], en donde a, b y c son números reales y diferentes de cero.

Consideremos la expresión x²+bc. Podemos visualizar esta expresión usando geometría:

Si es que dividimos al rectángulo azul por la mitad y movemos las piezas, podemos formar un cuadrado más grande con una pequeña pieza faltante:

¿Cuál es el área del cuadrado faltante?

Podemos encontrar el área de la figura o bien al sumar las áreas de todas las piezas o al elevar al cuadrado a un lado del cuadrado. Entonces, tenemos:

Observa que hemos añadido [latex]{{(\frac{b}{2})}^2}[/latex] a nuestra expresión original x²+bx.

¿A qué es igual x²+bx?

Ahora, miremos la ecuación cuadrática ax²+bx+c=0.

Queremos usar el método de completar el cuadrado para reescribir la expresión así x²+2dx+d² y simplificar esta expresión.

¿Qué expresión es equivalente a x²+2dx+d²?

¿Cuál ecuación es equivalente a ax²+bx+c=0?

Podemos sumar el mismo término a ambos lados de la ecuación sin alterar la solución.

Si queremos formar un cuadrado perfecto en el lado izquierdo de la ecuación, ¿qué expresión debemos añadir a ambos lados de la ecuación?

Ahora que tenemos un cuadrado perfecto² en el lado izquierdo de la ecuación, la x sólo aparece una vez:

Nota 2: Un cuadrado perfecto es una cantidad que puede ser expresada como el producto de dos valores iguales. Por ejemplo, 16 es un cuadrado perfecto ya que 4×4=16 y 9x² es un cuadrado perfecto ya que (3x)(3x)=9x².

Despeja la x.

Empezamos con la ecuación ax²+bx+c=0 y usamos el método de completar el cuadrado para despejar la x y obtener la siguiente ecuación:

Podemos simplificar un poco esta ecuación:

La última expresión que obtuvimos es conocida como la fórmula cuadrática.

Creado con GeoGebra

La interactiva de arriba calcula ambos valores resultantes de la fórmula cuadrática

¿Cuándo produce la fórmula cuadrática una sola solución?

¿Cuáles son las raíces³ de [latex]y={{x}^2}-2x-2[/latex]?

Nota 3: Las raíces de una función son los valores de x en donde la función es igual a cero.

Usa los siguientes ejemplos para practicar el uso de la fórmula cuadrática. Intenta resolver algunos de los problemas tú mismo y usa el proceso que se muestra para verificar tu respuesta. Resuelve tantos problemas necesites para dominar este concepto.

Creado con GeoGebra, por Hisham Amir