Límites: Definición Precisa
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Pregunta 1 de 8
1. Pregunta
En esta lección, descubriremos una definición más precisa de un límite. Empecemos con lo siguiente:
Usemos ϵ>0 como un número arbitrario. (ϵ es la lera griega ”épsilon”.) Entonces, (L-ϵ, L+ϵ) es un intervalo centrado en L, el cual forma una banda horizontal como se muestra en la figura de abajo.
Usemos δ>0 como un número arbitrario. (δ es la letra griega “delta”). Entonces, (a-δ, a+δ) es un intervalo centrado en a, el cual forma una banda vertical.
Dado ϵ, si es que podemos encontrar δ de tal forma que la parte de la gráfica de f en la banda vertical también esté en la banda horizontal, podemos escribir
En los próximos problemas, exploraremos esta idea detalladamente.
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Pregunta 2 de 8
2. Pregunta
La siguiente interactiva muestra a Yogi el oso, moviéndose de un lado del río al otro. Hay mucha neblina en el bosque y Yogi no puede ver claramente, por lo que decide caminar en línea recta.
El puente de tierra permite que el río fluya debajo, pero a veces, cuando llueve, los niveles de agua del río suben y hacen que el puente se haga más angosto.
Observa lo que sucede con Yogi cuando el puente se hace demasiado angosto.
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Pregunta 3 de 8
3. Pregunta
Al ayudar a Yogi a cruzar el río, entenderemos una de las cosas más importantes sobre la definición precisa de un límite.
En la siguiente interactiva, puedes modificar el ancho del puente entre 5 posibilidades y también pueden modificar el ancho del río.
¿Para cuál opción del puente no es posible hacer que Yogi cruce el río sin importar que tan delgado sea el río?
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Pregunta 4 de 8
4. Pregunta
Usando lo que vimos en la página introductoria de esta lección, el puente corresponde a la banda horizontal y el río corresponde a la banda vertical.
El camino que sigue Yogi representa a la gráfica de una función.
Las anteriores preguntas sugieren que la parte de la gráfica que está en la banda vertical también estará en la banda horizontal si es que encogemos a la banda vertical lo suficiente.
En los próximos problemas, desarrollaremos esta idea más a detalle.
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Pregunta 5 de 8
5. Pregunta
En el siguiente plano cartesiano, Yogi se mueve a lo largo de la gráfica de
La banda horizontal centrada en y=-3/2 representa el puente y la banda vertical centrada en x=1 es el río.
Para que Yogi cruce sin problemas, ¿el espacio entre las líneas verticales tiene que ser menor a cuántas veces el ancho entre las líneas horizontales?
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Pregunta 6 de 8
6. Pregunta
En el anterior problema vimos que, dada cualquier banda horizontal [latex](-\frac{3}{2}-\epsilon,-\frac{3}{2}+\epsilon)[/latex] centrada en [latex]y=-\frac{3}{2}[/latex], podemos encontrar una banda vertical (1-δ, 1+δ) centrada en el punto 1 de forma que la parte de
en la banda vertical también está en la banda horizontal. Esto sucede si es que tenemos δ<2ϵ.
Esto prueba que [latex]\lim_{x\to 1} \frac{1}{2}x -2=-\frac{2}{3}[/latex] .
Teniendo esto en cuenta, ¿cuál de las siguientes es verdadera?
A) Podemos hacer que los valores de x sean lo más cercanos que queramos a [latex]-\frac{3}{2}[/latex] siempre y cuando hagamos que f sea lo suficiente cercano a 1.
B) Podemos hacer que los valores de f sean lo más cercanos que queramos a [latex]-\frac{3}{2}[/latex] siempre y cuando hagamos que x sea lo suficiente cercano a 1.
C) Podemos hacer que los valores de f sean lo más cercanos que queramos a 1 siempre y cuando hagamos que x sea lo suficiente cercano a [latex]-\frac{3}{2}[/latex].
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Pregunta 7 de 8
7. Pregunta
Sin importar el ancho del puente, siempre es posible hacer que el río sea lo suficientemente delgado de forma que Yogi cruce sin problemas.
Ahora, Yogi se mueve a lo largo de la curva [latex]y=6 \sin(\frac{x}{4})[/latex]. Basado en lo que hemos visto, ¿a qué esperas que sea igual [latex] \lim_{x\to 0} 6 \sin(\frac{x}{4})[/latex]?
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Pregunta 8 de 8
8. Pregunta
En la anterior pregunta llegamos a la conclusión de que esperamos que [latex] \lim_{x\to 0} 6 \sin(\frac{x}{4})[/latex]. Ahora vamos a comprobarlo.
Dado que la función seno siempre retorna valores entre -1 y 1, tenemos
Entonces, si es que tenemos ϵ>6, la gráfica siempre se ubica en la banda horizontal (0-ϵ, 0+ϵ)=(-ϵ, ϵ).
Esto significa que podemos escoger cualquier δ>0 para la banda horizontal (0-δ, 0+δ)=(-δ, δ). Pero esto es más interesante cuando 0<ϵ≤6.
Ahora es un poco más difícil encontrar δ>0 en donde la parte de la gráfica en la banda vertical también se ubica en la banda horizontal:
Encuentra el valor más grande δ>0 de forma que 6 sin(x/4) se ubique en (-ϵ, ϵ) si es que x es escogido de (-δ, δ).
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