Líneas

Podemos convertir una línea que está en forma estándar a una forma paramétrica al imaginar un objeto que se mueve desde un punto en la línea a otro en un determinado tiempo.

Creado con GeoGebra

Por ejemplo, un auto se mueve en la línea que se muestra empezando en el punto (1, 1) hasta el punto (3, 5) en 2 segundos a una velocidad constate.

Dado que viaja a una velocidad constante, las expresiones paramétricas para la posición del auto serán lineales:

Podemos usar el primer punto para encontrar el valor de b. En t=0 el auto está en (1, 1), entonces x(0)=a∙0+b=1. Eso significa que b=1.

Ahora podemos usar el segundo punto para encontrar el valor de a. En t=2, el auto está en (3, 5), entonces x(2)=a∙2+1=3. Eso significa que a∙2=2, entonces a=1. Por lo que la expresión para la coordenada en x es x(t)=1∙t+1.

¿Cuál es la expresión para la coordenada en y del auto?

Hay maneras infinitas de representar una línea en forma paramétrica, dependiendo en cómo cambia el parámetro t.

Pensemos en la línea de la anterior pregunta, supongamos que el auto acelera. Esta vez se mueve desde (2, 3) en tiempo t=0 hasta (4, 7) en un segundo.

¿Cuál conjunto de ecuaciones paramétricas representa su posición?

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Si es que escribimos una línea en la forma pendiente-intercepto y=mx+b, la pendiente m es el cambio vertical, es decir, cambio en y sobre el cambio horizontal, es decir, cambio en x.

La pendiente de la línea en la izquierda es 3 ya que las coordenadas en x incrementan por 1 y las coordenadas en y incrementan por 3. La pendiente de la línea en la derecha es -2 ya que las coordenadas en x incrementan por 1 y las coordenadas en y decrecen por 2.

La pendiente también puede ser representada en la forma paramétrica de una línea. Las siguientes ecuaciones son ecuaciones paramétricas que representan a una línea.

¿Cuál es la pendiente de la línea?

Si es que las siguientes ecuaciones paramétricas representan una línea, ¿cuál de los siguientes debe ser un punto por el cual las líneas pasan?

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¿Cuál de las siguientes ecuaciones paramétricas representan la misma línea?

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Para convertir de forma paramétrica a forma pendiente-intercepto, resolvemos para t y luego la reemplazamos.

Por ejemplo, tenemos las siguientes ecuaciones paramétricas:

Podemos reescribir la primera ecuación para resolver para t:

Ahora podemos sustituir este valor de t en la expresión para y. ¿Cuál es la forma pendiente- intercepto de la línea?

También es posible usar ecuaciones paramétricas para describir más que sólo líneas rectas.

¿Qué forma representan las siguientes ecuaciones paramétricas?