Longitudes y Áreas de Polígonos

En esta lección, usaremos estrategias para calcular el área de polígonos regulares. Usaremos la técnica de dividir las figuras en rectángulos o triángulos rectángulos.

Por ejemplo, la fórmula para el área de un triángulo equilátero con longitud de lados a es:

Técnica para encontrar esta fórmula:

Todos los ángulos en un triángulo equilátero miden 60°, entonces, si es que trazamos una línea desde cualquier vértice hasta el punto medio del lado opuesto, formamos dos triángulos 30-60-90.

Aplicando el teorema de Pitágoras a uno de los nuevos triángulos, tenemos:

Despejando h², tenemos:

Entonces, tenemos:

Tenemos la altura en términos del lado a, entonces, el área en términos de un lado es:

El siguiente triángulo equilátero tiene un área de [latex]9\sqrt{3}[/latex]. La fórmula para el área de un triángulo equilátero es Área[latex]=\frac{\sqrt{3}}{4} {{a}^2}[/latex]. ¿Cuál es la longitud de un lado?

En el siguiente octágono regular, cuatro líneas fueron trazadas entre los vértices para crear dos pares de líneas paralelas que dividen al octágono en 4 triángulos, 4 rectángulos y un cuadrado. Si es que el octágono tiene lados de longitud 5, ¿cuál es el área combinada de los triángulos celestes?

Tenemos un hexágono regular con un triángulo equilátero que fue formado al conectar tres de los vértices. Si es que el perímetro del hexágono regular es 24, ¿cuál es el área del triángulo verde?

Los siguientes polígonos regulares tienen la misma altura h. ¿Cuál polígono tiene el área más grande?

Podemos encontrar ángulos rectos implícitos en figuras geométricas para facilitar la resolución de muchos problemas.

Por ejemplo, si es que tenemos triángulos isósceles, podemos trazan una línea desde el vértice hasta el punto medio de la base del triángulo:

Podemos determinar que los dos triángulos pequeños creados tienen lados correspondientes congruentes ya que:

• La nueva línea fue trazada hacia el punto medio de la base, por lo que dividió al triángulo en dos mitades congruentes.

• Dos de los lados son congruentes ya que el triángulo grande era isósceles.

• Los dos triángulos pequeños comparten un lado.

Entonces, dado que los triángulos pequeños son congruentes, los dos ángulos formados en la base son iguales. Estos dos ángulos suman 180° y, por lo tanto, cada uno debe medir 90°.

También podemos crear ángulos rectos en polígonos regulares al trazar un apotema, que es una línea desde el centro del polígono hasta el punto medio de uno de los lados.

El hexágono regular que se muestra abajo tiene un perímetro de 48. La apotema, a, es a≈6.93.

¿Cuál es el área aproximada del hexágono?

El siguiente decágono regular tiene un área de 20 unidades cuadradas. ¿Cuál es el área de la sección celeste?