Optimización

Sergio está en un partido de waterpolo. Los equipos están en un empate y sólo quedan unos pocos segundos para que termine el partido, así que esta jugada es decisiva.

Si es que decide lanzar el balón a la portería muy temprano o muy tarde, perderá la mejor oportunidad para ganar el partido. Usando derivadas, veremos que hay un tiempo óptimo para lanzar.

Sergio decide nadar en forma paralela a un lado de la piscina. Entre más grande sea el ángulo formado entre él y los dos postes de la portería, tendrá más oportunidades de anotar.

La siguiente interactiva muestra este ángulo θ formado por las líneas negras y también muestra su valor.

¿Existe un valor máximo para θ durante la trayectoria de Sergio?

Creado con GeoGebra

Ahora necesitamos encontrar una función, la cual diferenciaremos para encontrar el ángulo máximo. Necesitamos una relación matemática entre θ y x, la posición matemática de Sergio a lo largo de su trayectoria.

Si es que la portería tiene a unidades de ancho y la trayectoria de Sergio está a b unidades desde su lado izquierdo, entonces [latex]\theta_{1}[/latex] es parte del triángulo rectángulo con lado opuesto de longitud a+b y lado adyacente de longitud x.

¿Cuál es la relación trigonométrica que relaciona a [latex]\theta_{1}[/latex] y x?

Recuerda que, [latex]\sin⁡(\theta)=\frac{O}{H},~\cos⁡(\theta)=\frac{A}{H},~\tan⁡(\theta)=\frac{O}{A}[/latex].

Vimos que el ángulo [latex]\theta _{1}[/latex] entre la trayectoria de Sergio y el poste derecho está dado por [latex]\tan⁡(\theta_{1})=\frac{a+b}{x}[/latex]. De la misma forma, podemos encontrar [latex]\theta_{2}[/latex], el ángulo entre su trayectoria y el poste izquierdo:

Entonces, [latex]\tan⁡(\theta_{1})=\frac{a+b}{x}[/latex] y [latex]\tan⁡(\theta_{2})=\frac{b}{x}[/latex].

Queremos encontrar [latex]\theta=\theta_{1}-\theta_{2}[/latex]. Podemos usar una identidad trigonométrica para esto:

Usando esto, encuentra [latex]\tan(\theta_{1})[/latex] en términos de x.

En las anteriores dos preguntas, encontramos la expresión [latex]\theta(x) ={{\tan}^{-1}} \left(\frac{ax}{{{x}^2}+(a+b)b}\right)[/latex]. Esta es la expresión que necesitamos maximizar.

[latex]{{\tan}^{-1}}[/latex] incrementa estrictamente, lo que significa que θ(x) es más grande cuando su argumento alcanza su máximo, es decir, cuando la siguiente función alcanza su máximo:

Sabemos que esto sucede cuando [latex]f'(x)=0[/latex]. Sin embargo, aún no sabemos cómo calcular derivadas de funciones racionales. Pero podemos lograrlo al combinar la regla de la cadena, la regla del producto y la regla de la potencia.

Empezando con la regla del producto, tenemos que

Esto se simplifica a

dado que [latex]\frac{d}{dx} \left[x\right]=1[/latex], y podemos sacar las constantes fuera de las derivadas.

Podemos simplificar el último término ya que es de la forma [latex]\frac{d}{dx} \left[\frac{1}{p(x)} \right][/latex], en donde p(x) es un polinomio y podemos usar la regla de la cadena.

Usa la regla de la potencia [latex]\frac{d}{dx} \left[\frac{1}{x}\right]=\frac{d}{dx} \left[{{x}^{-1}}\right]=-\frac{1}{{{x}^2}}[/latex] y la regla de la cadena para encontrar la siguiente derivada

El problema inicial era encontrar el punto a lo largo de la trayectoria de Sergio en donde tiene el ángulo más grande de objetivo y por lo tanto la mayor probabilidad de anotar.

Formamos una función f(x) la cual tiene un máximo que resuelve este problema. Entonces, necesitamos resolver [latex]f'(x)=0[/latex] para encontrar el máximo. En la anterior pregunta, simplificamos el último término y podemos simplificar la expresión:

La mayoría de los problemas de optimización pueden se resueltos al formar una función y encontrar sus puntos críticos.

Recordando que x es un número positivo real, encentra los puntos críticos de f:

Usando las derivadas, encontramos que el ángulo más grande de Sergio y el ángulo en el que tiene más probabilidades de anotar es

La interactiva que usamos en esta lección usa a=13.2 unidades y b=7.48 unidades. Con esto encontramos que θ_max=27.95° que es lo que estimamos al inicio.