Paradoja del cuadrado perdido

En la imagen de arriba tenemos un triángulo con dimensiones 13×5 que es formado por 4 polígonos. Si es que reorganizamos los polígonos, obtenemos la siguiente figura:

Ambas figuras son formadas por los mismo 4 polígonos, pero podemos ver que la segunda figura tiene un cuadrado 1×1 perdido.

En esta lección, descubriremos lo que sucede aquí. Empecemos encontrando el área. ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo 13×5?

Calcula las áreas individuales de los polígonos del siguiente triángulo. ¿Cuál es la suma de estas áreas?

Ingresa un valor

En la anterior pregunta vimos que, el área de todos los polígonos en la figura de arriba es igual a 32, sin embrago, el área del triángulo con dimensiones 13×5 es 32.5.

Calcula las pendientes de las hipotenusas de los triángulos azul y rojo separadamente y luego súmalas. ¿Cuál es el resultado?

Creado con GeoGebra, por tewksbg

En la anterior pregunta vimos que, las pendientes de los triángulos azul y rojo no son las mismas. Esto significa que la hipotenusa de la figura no es una línea recta, lo que significa que las figuras no son triángulos. La figura 1 tiene una pendiente que es curvada ligeramente hacia adentro y la figura 2 tiene una pendiente que es curvada ligeramente hacia afuera. Al comparar estas figuras, vemos que las hipotenusas no coinciden.

¿Cuál es la diferencia en área entre las dos figuras, es decir, cuál es el área del siguiente paralelogramo?

Vimos que, ninguna de las figuras es en realidad un triángulo y la diferencia entre sus áreas es exactamente 1.

Podemos hacer la observación que las longitudes de los lados de los polígonos que forman las figuras: 2, 3, 5 y 8 son números Fibonacci sucesivos.

Resulta que podemos recrear la paradoja del cuadrado perdido usando cualesquier 4 números Fibonacci consecutivos para construir los triángulos en una manera análoga. Por ejemplo, en los as figuras de abajo tenemos los números Fibonacci 1, 1, 2, 3. Podemos reorganizar el rectángulo para crear un hueco de área 1. Sin embargo, en esta ocasión, la ilusión es menos convincente ya que las pendientes son notoriamente diferentes.