Proporciones de Figuras 3D

David tiene una caja llena de confeti con medidas 1m ×1m×1m que pesa 10 kg. Vicente también tiene una caja llena de confeti con medidas 2m ×2m×2m.

¿Cuánto pesa la caja de Vicente?

En esta lección, exploraremos cómo al escalar un objeto podemos afectar a otras características de ese objeto.

Visualicemos una línea, un cuadrado y un cubo cada uno con una longitud de los lados de a:

Veamos lo que pasa cuando duplicamos la longitud de los lados de cada objeto.

• Línea: Si es que duplicamos la longitud de la línea, se convierte simplemente en una línea con longitud 2a.

• Cuadrado: Si es que duplicamos los lados del cuadrado, se convierte en un cuadrado con dimensiones 2a×2a, y tiene un área de superficie de 4a². Observa que el área de superficie es proporcional a la longitud de un lado elevado al cuadrado.

• Cubo: Si es que duplicamos los lados del cubo, se convierte en un cubo con dimensiones 2a×2a×2a, el cual tiene un área de superficie de 6×4a²=24a² y un volumen de 8a³. Observa que el área de superficie es proporcional a la longitud de un lago elevado al cuadrado, mientras el volumen es proporcional a la longitud de un lado elevado al cubo.

Simón está pintando un contenedor que puede ser considerado un cubo perfecto. El contenedor tiene dimensiones 2m×2m×2m y le tomó 1 galón de pintura para pintarlo completamente.

Si es que pudiéramos dividir el contenedor en 8 contenedores pequeños idénticos, ¿cuántos galones de pintura se necesitarían para pintarlos?

Ahora Simón está pintando un objeto que puede ser considerado un cilindro. El cilindro tiene una altura de h y un radio de r y le toma 2 galones de pintura para cubrirlo completamente.

Si es que duplicamos la altura del cilindro, pero mantenemos el radio constante, ¿cuántos galones de pintura se necesitarían para cubrir el cilindro?

Al rebanar a un objeto sólido, obtenemos una cara con un área que es llamada área transversal.

En una construcción están considerando dos columnas cilíndricas de cemento de la misma altura, h, pero de diferente área transversal. La columna de la izquierda puede ser construida con 1 tonelada de cemento, mientras la columna de la derecha puede ser construida con 2 toneladas de cemento. ¿Cuál es la razón del área transversal de la columna grande al de la columna pequeña?

El área transversal influye la cantidad de peso que un objeto puede soportar. Por ejemplo, una columna de cemento que puede soportar 3 toneladas por metro cuadrado de su área transversal.

Cuando incrementamos el tamaño de un objeto por un factor de a, su volumen (y su peso) incrementará por un factor de a³ y su área transversal incrementará por un factor de a².

Este es un principio de ingeniería que también se usa en biología para entender las razones por las que diferentes animales tienen diferentes proporciones físicas.

Si es que escalamos a una hormiga de 0.01 m de altura que pesa 0.00001 kg hasta la longitud de un oso pardo de 2 m, ¿cuánto pesaría?

Una hormiga de 0.01 m es capaz de levantar 0.0005 kg, lo cual impresionantemente, es equivalente a 50 veces su propio peso.

Si es que escalamos a una hormiga de 0.01 m de largo y que pesa 0.00001 kg hasta el tamaño de un oso pardo de 2 m de largo, ¿cuál es el peso que ahora puede levantar?

¿Qué pasaría si fuera posible incrementar el tamaño de una hormiga hasta el tamaño de un oso pardo?