Racionalización de Radicales

¿Qué fracción es equivalente a [latex]\sqrt{\frac{5}{2}}[/latex]?

En esta lección, vamos a dejar a las gráficas a un lado por un momento y nos vamos a enfocar en algunos métodos para manipular radicales¹ con multiplicación.

En el anterior problema, pudimos transformar a √2 en una raíz cuadrada de un cuadrado perfecto² multiplicando: √2×√2=√4=2. En los próximos problemas, exploraremos más a profundo la idea de encontrar cuadrados perfectos y miraremos los llamados conjugados racionales.

Nota 1: Un radical es una expresión que es escrita usando el símbolo. Los radicales incluyen raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc.

Nota 2: Un cuadrado perfecto es una cantidad que puede ser expresada como el producto de dos valores iguales. Por ejemplo, 16 es un cuadrado perfecto ya que 4×4=16 y 9x² es un cuadrado perfecto ya que (3x)(3x)=9x².

¿Qué fracción es equivalente a [latex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/latex]?

En los anteriores problemas racionalizamos los denominadores de las fracciones con las que estábamos trabajando al eliminar el número irracional³ en el denominador. Por ejemplo, en la fracción [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}, ~\sqrt{3}[/latex] es un número irracional.

Nota 3: Los números irracionales son números reales que no pueden ser expresados como una tasa de dos números enteros. Por ejemplo, √2 no puede ser escrito como una fracción en la forma a/b si es que a y b son enteros y por lo tanto √2 es un número irracional.

Cuando multiplicamos una raíz cuadrada de un número por sí misma, eliminamos la raíz cuadrada. Por lo tanto, podemos multiplicar el denominador y el numerador de una fracción por la misma raíz para eliminar el número irracional en el denominador de la fracción:

Para que una fracción pueda ser simplificada, no puede haber números irracionales en el denominador.

¿Qué fracción es equivalente a [latex]\frac{x}{\sqrt{y}}[/latex]?

¿Cuál de las siguientes es más grande?

En el anterior problema, decidimos cuál es más grande [latex]\sqrt{9}-\sqrt{8}[/latex] o [latex]\sqrt{8}-\sqrt{7}[/latex] usando lógica.

También podemos usar álgebra al aplicar conjugados racionales. Anteriormente ya multiplicamos una raíz cuadrada por sí misma para producir un número racional. Podemos usar la misma idea para eliminar radicales en expresiones de dos términos.

En un conjugado, cambiamos el signo en el medio de los dos términos. Por ejemplo, el conjugado de [latex](x+\sqrt{y})[/latex] es [latex](x-\sqrt{y})[/latex].

Usando conjugados, podemos reescribir las expresiones originales:

Dado que [latex]\sqrt{9}+\sqrt{8} >\sqrt{8}+\sqrt{7}[/latex], sabemos que [latex]\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{8}}<\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}[/latex] Por lo tanto [latex]\sqrt{8}-\sqrt{7}>\sqrt{9}-\sqrt{8}[/latex].

¿A qué es igual la siguiente expresión?

¿Es verdad que si multiplicamos la expresión [latex](2+\sqrt[3]{10})[/latex] por su conjugado [latex](2-\sqrt[3]{10})[/latex] eliminamos la raíz cúbica?

Nota 5: Dada la expresión a+b, su conjugado es a-b. En un conjugado, cambiamos el signo en el medio de los dos términos.

¿Puedes racionalizar el denominador?

Completa el rompecabezas al hacer clic en una pieza que contiene el conjugado y una pieza que contiene la expresión simplificada.

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