Regla del Complemento

En esta lección, miraremos algunos escenarios en los que es más fácil calcular la probabilidad de que un evento no sucede antes que encontrar la probabilidad de que el evento sí sucede.

Gracias a las reglas de probabilidad que hemos visto hasta ahora, podemos encontrar la conexión entre estas probabilidades en una manera simple.

Si es que tenemos un evento A, el complemento de ese evento, [latex]{{A}^c}[/latex], es el conjunto de todos los resultados en el espacio muestral que no están en A.

Dado que la suma de todas las probabilidades debe sumar 1, la probabilidad de [latex]{{A}^c}[/latex] es obtenida usando la regla del complemento:

Por ejemplo, si es que lanzamos un dado de seis lados, entonces, el espacio muestral son todos los resultados posibles 1-6. Si es que definimos a A como el evento en el que el resultado del lanzamiento es 5 o 6, entonces [latex]{{A}^c}[/latex] sería el evento en el que el resultado no es 5 o 6.

[latex]P({{A}^c})=1-P(A)=\overline{0.66}=1-\overline{0.33}[/latex]

La probabilidad de que algo no sucede es 1 menos la probabilidad de que sí sucede.

Si es que lanzas un dado de 12 lados, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado no sea 12?

La regla del complemento puede resultar extremadamente útil al ser aplicada inteligentemente.

Por ejemplo, en el anterior problema, vimos que la probabilidad de obtener un 12 al lanzar un dado de 12 lados es [latex]\frac{1}{12}[/latex]. Entonces, la probabilidad de no obtener un 12 es [latex]\frac{11}{12}[/latex].

Si es que tenemos tres lados de 6 lados, ¿cuál es la probabilidad de obtener por lo menos un 6?

Para cada dado, la probabilidad de un 6 es [latex]\frac{1}{6}[/latex]. Entonces, la probabilidad de que el dado no resulte en un 6 es [latex]\frac{5}{6}[/latex].

Si el evento en el que todos los resultados no son 6 es A, entonces [latex]{{A}^c}[/latex] es el evento en el que por lo menos uno de los dados resulta en 6.

Los tres dados son independientes y la regla del producto aplica. Entonces, la probabilidad de que por lo menos uno de los dados resulta en 6 es:

[latex]P({{A}^c} )=1-{{(\frac{5}{6})}^3}=\frac{91}{216}[/latex]

Un pronóstico meteorológico indica que hay un 30% de probabilidad de lluvia para cada día de los próximos cinco días. Si es que asumimos que la lluvia que suceda en cada día es independiente de otros días, ¿cuál es la probabilidad de que lloverá por lo menos una vez en los próximos cinco días?

En el anterior problema vimos que, a veces es más fácil encontrar la probabilidad de que un evento no ocurrió y luego restarla de 1 para encontrar la probabilidad de que ese evento sí ocurrió.

La unión (∪) de múltiples eventos significa la probabilidad de que cualquier evento suceda, es decir, o bien el evento [latex]A_{1}, ~A_{2},~…~ o~ A_{n}[/latex] ocurre.

Recuerda que el símbolo ∏ significa multiplicación de todos los términos.

Entonces, si tenemos un conjunto de n eventos mutualmente independientes {[latex]A_{1},~A_{2},~…,~A_{n-1},~A_{n}[/latex]}. La probabilidad de la unión de estos eventos es:

Esta fórmula nos indica que para encontrar la probabilidad de que cualquier evento en un conjunto ocurrirá, necesitamos calcular la probabilidad de que ninguno de los eventos en el conjunto ocurrirá y restar esa probabilidad de 1.

Si es que lanzamos un dado de 6 lados, un dado de 10 lados y un dado de 12 lados, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los dados resulte en 1?

Un geólogo predice que hay una probabilidad del 30% de un terremoto el próximo año. Un meteorólogo predice que hay una probabilidad del 20% de huracán el próximo año. Un epidemiólogo predice que hay una probabilidad del 40% de un nuevo virus de gripe el próximo año. Si es que estos eventos son mutualmente exclusivos, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de estos desastres suceda el próximo año?

Si es que tú y tu amigo lanzan cada uno un dado de 12 lados, ¿cuál es la probabilidad de que obtengas un número más alto que tu amigo?

La regla del complemento [latex]P(A)=1-P({{A}^c})[/latex] resulta muy útil cuando queremos encontrar P(A), pero es más fácil calcular la probabilidad de que A no sucederá.

En la próxima lección, tendremos un poco de práctica con esta regla de probabilidad y las otras reglas que hemos visto al aplicarlas en problemas de la vida real.