Resumen de Derivadas
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Pregunta 1 de 8
1. Pregunta
La palabra cálculo proviene del latín “calculus” que significa piedra y se refiere al conteo, enumeración ya que en la antigüedad se utilizaban rocas para realizar cálculos aritméticos.
El cálculo fue inventado para estudiar el movimiento continuo de todos los objetos en el universo.
El cálculo tiene muchas aplicaciones prácticas en la vida real. Algunos de los conceptos que usan cálculo incluyen, el movimiento, electricidad, luz, harmónicas, acústica y astronomía. El cálculo es usado en geografía, fotografía, inteligencia artificial, robótica, videojuegos e incluso producción de películas. El cálculo también es usado para calcular las tasas de radioactividad, predecir las tasas de natalidad y mortalidad, en el estudio de la gravedad y movimiento planetario, movimiento de fluidos, diseño de naves, ingeniería de puentes y muchas áreas más.
En esta lección, empezaremos explorando a la derivada, uno de los tres pilares importantes del cálculo.
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Pregunta 2 de 8
2. Pregunta
Empecemos mirando algunas de las situaciones en las que las derivadas pueden resultar extremadamente útiles.
Una de las aplicaciones de las derivadas es optimización, en donde la salida de una cierta función necesita ser maximizada o minimizada.
Pensemos en el siguiente problema:
En un partido de waterpolo, un jugador nada hacia adelante. Sus dos líneas de vista a cada uno de los postes del arco forman un ángulo θ, el cual cambia con el tiempo t a medida que el jugador nada.
En la siguiente interactiva, puedes mirar el cambio de θ a través del tiempo. El jugador tiene mejores oportunidades de anotar cuando el ángulo θ es más grande. ¿Existe un tiempo óptimo para que lance?
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Pregunta 3 de 8
3. Pregunta
Una de las aplicaciones más importantes del cálculo es optimización. Optimización es usada ampliamente en muchas áreas de ciencia e ingeniería.
Veamos un ejemplo de optimización al determinar el punto máximo de la gráfica de la función.
Alex está lanzando una bola directamente hacia el aire. La altura de la bola sobre el suelo es una función del tiempo, h(t).
Estima cuándo la bola alcanza su máxima altura usando la siguiente gráfica.
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Pregunta 4 de 8
4. Pregunta
La siguiente gráfica muestra la misma trayectoria de la bola, pero ahora también muestra la línea tangente. La posición de la línea tangente cambia a medida que t cambia.
¿Cuál es la pendiente de la línea tangente cuando la bola alcanza su altura máxima?
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Pregunta 5 de 8
5. Pregunta
La línea tangente de h(t) en el punto t=a es la línea que toca ligeramente a la gráfica de h en el punto (a, h(a)) sin cortar a través de ella.
Para cualquier curva, sólo hay una línea tangente para cada punto en la curva ya que, si es que nos acercamos más y más a cualquier punto, podemos ver que la curca tiene una “pendiente local” allí.
Sólo una línea tangente con exactamente la misma pendiente puede tocar a la curva allí sin atravesarla.
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Pregunta 6 de 8
6. Pregunta
Una línea recta sólo puede ser tangente a una curva si es que su pendiente coincide exactamente con qué tan rápido está cambiando la función en el punto de tangencia.
¿Cómo será la línea que es tangente al punto máximo de la gráfica de una función?
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Pregunta 7 de 8
7. Pregunta
La pendiente de la línea tangente tiene un nombre especial: derivada. Sacar la derivada de una función en un punto significa encontrar la pendiente de la línea tangente allí.
En la gráfica que tenemos abajo, la pendiente de la línea tangente de h en el punto (t, h(t)) empieza en 12 cuando t=0, pero decrece a medida que nos acercamos al punto máximo de la curva.
Al mover el control deslizante a cualquier valor de t, podemos ver que v(t)=12-6t es igual a la pendiente de la línea tangente. Entonces, podemos decir que la derivada de h en (t, h(t)) es v(t)=12-6t.
¿Cuál es la derivada de h cuando t=3?
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Pregunta 8 de 8
8. Pregunta
En esta lección, tuvimos una introducción a las derivadas y descubrimos su significado esencial. Las derivadas miden tasas de variación y cambios.
Las derivadas son muy útiles en el estudio del movimiento ya que, por ejemplo, la derivada de una función de posición como h(t) es una función de velocidad que describe la velocidad variante de un objeto.
También veremos que, las derivadas ayudan a resolver problemas de optimización, por lo que dominar el cálculo de derivadas es una habilidad muy importante para aprender.
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