Resumen de Integrales
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Pregunta 1 de 10
1. Pregunta
En la anterior lección, nos familiarizamos con las derivadas. En esta lección, exploraremos las integrales, las cuales “revierten” el efecto de las derivadas y viceversa.
Al igual que las derivadas, las integrales tienen muchas aplicaciones prácticas tales como cálculo de áreas, volúmenes, puntos centrales, distancias viajadas por objetos y muchas más.
Esta lección es sólo una introducción, exploraremos las integrales más a detalle en las próximas lecciones.
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Pregunta 2 de 10
2. Pregunta
La siguiente gráfica muestra la región delimitada por la gráfica y=f(x), el eje x y las líneas verticales x=0 y x=b.
¿Qué sucede con el área de esta región a medida que b cambia?
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Pregunta 3 de 10
3. Pregunta
En la anterior pregunta vimos que, el área delimitada por la curva y=f(x) y las líneas x=0, x=b y y=0 depende de b. Esto significa que A es una función.
Lo más común es usar a x o a t como variables independientes y dado que x está siendo usada como la variable de f, usaremos a t como la variable de A. Sólo ten en cuenta que aquí t está siendo usada como variable de A en vez de representar a tiempo.
A(t) es la integral de f entre x=0 y x=t.
Usemos el siguiente problema para entender la conexión entre la integral de f y la forma de su gráfica.
Usa geometría y la siguiente gráfica para encontrar la integral de f(x)=x.
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Pregunta 4 de 10
4. Pregunta
Ahora usemos álgebra para mirar cómo la derivada revierte a la integral.
La tasa de variación de A entre t=b y t=b+h aproximadamente está dada por
En donde h>0 es muy pequeño. En el anterior problema, obtuvimos [latex]A(t)=\frac{1}{2} {{t}^2}[/latex], entonces tenemos
Dado que h es muy pequeño, podemos asumir que h≈0, entonces, la tasa de variación de A en t=b es alrededor de b, lo cual es f(b).
Generalmente, la tasa de variación de A en t es f(t). Esto significa que la derivada de la integral de f es f.
Si es que tenemos f(x)=2x(4-2x), ¿cuál es la tasa de variación de A en t=1?
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Pregunta 5 de 10
5. Pregunta
En las últimas preguntas, descubrimos que sacamos la integral de f para obtener A, pero al sacar la derivada de A, obtenemos f nuevamente.
En la anterior lección vimos que, al sacar la derivada de una función de posición h en t, obtenemos la velocidad v(t). Para simplificar las cosas por ahora, podemos asumir que h(0)=0.
Entonces, resulta que la integral de v(t) nos da h(t). Por lo tanto, las integrales revierten a las derivadas y las derivadas revierten a las integrales.
Este es el Teorema fundamental del cálculo en su forma más simple. Analizaremos esto más detalladamente en las próximas lecciones.
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Pregunta 6 de 10
6. Pregunta
Las integrales también pueden ser usadas para estudiar el movimiento.
La siguiente es una gráfica de velocidad v(t) para un avión. El área debajo de la gráfica entre t=0 y t=b está sombreada.
Creado con GeoGebraSin tomar en cuenta las unidades, ¿qué tan lejos viaja el auto entre el tiempo t=0 y t=5.02?
CorrectoIncorrectoPista
Asume que el auto empieza desde el origen y h(0)=0.
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Pregunta 7 de 10
7. Pregunta
Similar a las derivadas, las integrales también nos ayudan a resolver problemas geométricos.
Un ejemplo interesante de esto es el cuerno de Gabriel o también llamada la trompeta de Torricelli. El cuerno es formado al hacer girar a la gráfica de [latex]y=\frac{1}{x}, ~x\geq 1[/latex] alrededor del eje x para formar una gráfica 3D. Puedes girar e interactuar con la siguiente gráfica 3D.
Creado con GeoGebraEl cuerno se extiende indefinidamente, por lo que la gráfica de abajo muestra la sección entre x=1 y x=l+1, la cual tienen un área superficial (AS)
AS(l)>2π ln(l+1)
Más adelante exploraremos el origen de esta expresión al usar integrales.
Creado con GeoGebra¿Cuál es el mejor estimado del área superficial total del cuerno?
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Pregunta 8 de 10
8. Pregunta
Ahora veamos el volumen del cuerno de Gabriel. La siguiente gráfica muestra el volumen (V) de la parte del cuerno entre x=1 y x=l+1, lo cual está dado por la fórmula
¿A qué valor se acerca el volumen a medida que la longitud incrementa?
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Pregunta 9 de 10
9. Pregunta
En las anteriores preguntas vimos que, las integrales pueden ser definidas en términos de áreas. Ahora veamos cómo son encontradas esas áreas.
El área delimitada por la gráfica de y=f(x)=x(2-x) entre x=0 y x=1 y el eje x se muestra abajo sombreada de azul.
Esa área puede ser aproximada usando rectángulos. Al añadir las áreas de los rectángulos, obtenemos un estimado para el área buscada.
Si es que añadimos muchos rectángulos delgados, obtenemos un estimado más preciso. Explora esto con la siguiente gráfica.
Creado con GeoGebran es el número de rectángulos y la gráfica nos muestra su área total.
¿Cuál es el mejor estimado del área azul y por lo tanto la integral de f entre 0 y 2?
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Pregunta 10 de 10
10. Pregunta
En el anterior problema vimos que, es posible estimar una integral con sumas de áreas de rectángulos.
Vimos que, entre más rectángulos tengamos, nos acercaremos más a la forma de la curva y obtendremos una estimación más precisa del área. Resulta que, si es que pudiéramos usar un número infinito de rectángulos, obtendríamos la integral precisa.
Las sumas infinitas son una parte muy importante del cálculo y las exploraremos más a detalle en el resto de este curso, empezando con una introducción en la siguiente lección.
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