Resumen de Sumas Infinitas
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Pregunta 1 de 5
1. Pregunta
El infinito puede resultar un concepto difícil de comprender en ciertas situaciones y puede ser la fuente de algunas confusiones al ser usado en aplicaciones de matemáticas, ciencia e ingeniería.
Gracias al cálculo, podremos facilitar el concepto de infinito en esas situaciones. Últimamente, el cálculo fue creado para facilitar la resolución de este tipo de problemas.
En esta lección, empezaremos a explorar el infinito comenzando por las sumas infinitas.
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Pregunta 2 de 5
2. Pregunta
Para expresar una sumatoria de términos, usamos la siguiente notación:
Esto significa que tenemos la suma de todos los términos desde el 1 al 100. La letra Sigma ∑ es usada para representar sumatorias.
Generalmente, si es que [latex]a_{i}[/latex] es el [latex]{{i}^{vo}}[/latex] número en la lista, entonces
El i=1 en la parte inferior de ∑ es el número entero más pequeño del valor de i y la n en la parte superior es el valor de i más grande. Todos los términos [latex]a_{i}[/latex] son sumados.
Evalúa la siguiente sumatoria:
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Pregunta 3 de 5
3. Pregunta
Ahora miremos una suma finita con una variable en el índice superior como la siguiente sumatoria de los primeros n números enteros positivos.
La sumatoria depende del valor de n. Por ejemplo, si es que n=5, tenemos 1+2+3+4+5=15, y si es que n=3, obtenemos 1+2+3=6.
A veces es posible obtener una fórmula que reemplaza a la sumatoria. Por ejemplo,
Determina la suma de los primeros 100 números consecutivos usando esta sumatoria.
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Pregunta 4 de 5
4. Pregunta
Podemos realizar sumatorias [latex]\sum_{i=1}^{n} a_{i}[/latex] para números finitos de n muy grandes.
Si es que tenemos [latex]\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}=L[/latex], definimos a las sumatorias parciales [latex]\sum_{i=1}^{n} a_{i}[/latex] como sumatorias que tienden a acercarse más y más a L a medida que n se hace más y más grande.
L puede ser cualquier número real. Una de las siguientes sumatorias tiene un resultado que es un número real, la otra no.
¿Cuál es estas sumatorias infinitas resulta en un número real?
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Pregunta 5 de 5
5. Pregunta
Una suma infinita puede ser considerada convergente cuando podemos encontrar un valor L de tal forma que
Cuando no es posible encontrar este valor, decimos que la suma infinita es divergente, similar al ejemplo de la anterior pregunta en el que la sumatoria crece sin límites.
Una parte del cálculo se encarga de encontrar pruebas de convergencia ya que la determinación de convergencia o divergencia de sumatorias infinitas también tiene muchas aplicaciones. Sin embargo, este no será el enfoque de este curso. Aquí tornaremos nuestra atención a las aplicaciones de las sumatorias infinitas.
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