Rosas Polares II

En la anterior lección, vimos una introducción a las rosas polares. En esta lección vamos a expandir la ecuación que vimos a la siguiente:

[latex]r=\sin⁡(\frac{a}{b} \theta)[/latex]

En esta ocasión, estamos multiplicando a θ por un número racional. En la siguiente visualización puedes explorar un poco con esta nueva forma.

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Para entender mejor las rosas polares más complejas que acabamos de ver, hagamos una revisión de transformaciones. Si es que tenemos una función f(x) y la cambiamos con una constante P para formar f(Px), ¿cuál es el efecto general en coordenadas cartesianas?

En coordenadas cartesianas, una onda normal de coseno f(θ)=cos(θ) y una onda normal de seno f(θ)=sin(θ) empiezan un nuevo ciclo después de una distancia horizontal de 2π. Aplicando una transformación podemos hacer que la gráfica se repita más rápido o más despacio.

El número de ciclos dentro de un lapso en donde un ciclo ocurriría normalmente se conoce como la frecuencia de la gráfica. La siguiente gráfica tiene una frecuencia de 5.

El periodo es la distancia horizontal cubierta por un ciclo. En el caso de la gráfica de arriba, el periodo es 2π÷5.

Si es que tenemos,

[latex]f(\theta)=\sin⁡(\frac{a}{b} \theta)[/latex]

¿cuál es el periodo?

Las gráficas de seno y coseno continúan por siempre en ambas direcciones como ondas al ser graficadas en coordenadas cartesianas, pero luego van en un círculo al ser graficadas en coordenadas polares. La gráfica polar completa una revolución por cada 2π radianes en la gráfica cartesiana.

En la siguiente visualización puedes experimentar con las funciones sin(θ), sin⁡(2θ), sin(3θ), sin(4θ), o sin(5θ) y mirar que cada gráfica completa diferentes números de ciclos en 2π radianes y si seguimos trazando la gráfica polar, la gráfica coincidirá en sí misma.

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Cada pétalo de una rosa polar viene de un máximo o un mínimo de la gráfica cartesiana de la función.

¿Cuántos pétalos tiene [latex]r=\sin(\frac{2}{3} \theta)[/latex]?

En la pregunta anterior vimos que, la gráfica polar de [latex]f(\theta)=\sin⁡(\frac{2}{3} \theta)[/latex] tiene cuatro pétalos.

Si tenemos la fracción a/b reducida totalmente, en donde b es par, ¿cuántos pétalos tendrá la gráfica de [latex]f(\theta)=\sin⁡(\frac{a}{b} \theta)[/latex]?

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Si tenemos la fracción [latex]\frac{a}{b}[/latex] reducida totalmente, en donde b es impar, ¿cuántos pétalos tendrá la gráfica de [latex]f(\theta)=\sin⁡(\frac{a}{b} \theta)[/latex]?

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