Simetría de Funciones

Cuando una función tiene simetría, dada alguna reflexión, una porción de una gráfica de una función coincide con otra porción.

Los problemas pueden ser simplificados si es que es posible reconocer una simetría. Por ejemplo, si es que sabes que la misma cosa ocurre en una función con entradas positivas y entradas negativas, es posible calcular el valor de un sólo grupo de valores y luego hacer una reflexión para encontrar los otros valores.

En esta lección exploraremos las funciones pares e impares y cómo funcionan sus reflexiones.

¿Cuál función tiene la misma gráfica que f(x)=x²?

Si es que multiplicamos las salidas de f(x) por -1, creamos –f(x). ¿Cómo es la gráfica de –f(x) diferente de la gráfica de f(x)?

Si es que multiplicamos las entradas de f(x) por -1, creamos f(-x). ¿Cómo es la gráfica de f(-x) diferente de la gráfica de f(x)?

Creado con GeoGebra

En los anteriores problemas vimos la diferencia entre multiplicar los valores de las entradas por -1 y multiplicar los valores de las salidas por -1.

Multiplicar los valores de la salida por -1 produce una nueva función –f(x) que es una reflexión de f(x) en el eje x.

Multiplicar los valores de la entrada por -1 produce una nueva función f(-x) que es una reflexión de f(x) en el eje y.

Creado con GeoGebra

Si es que tenemos que f(x)=f(-x), ¿cuál de las siguientes es una característica de f(x)?

Si es que tenemos una función f con la condición f(x)≠0, ¿es posible tener f(x)=-f(x)?

Cuando tenemos f(x)=f(-x), valores opuestos de x y –x producen los mismos valores de salidas y la gráfica de la función es simétrica en el eje y. Las funciones que tienen gráficas con simetría en el eje y son denominadas funciones pares.

Creado con GeoGebra, por Tim Brzezinski

Cuando tenemos f(-x)=f(-x), valores opuestos de x y –x producen los valores opuestos de salidas. Por ejemplo, si tenemos el punto (1, 2) en la gráfica de f(x), entonces, el punto (-1, -2) también estará en la gráfica de f(x). Este tipo de funciones son denominadas funciones impares y son simétricas con respecto del origen. Las funciones impares presentan simetría rotacional (rotación de 180°).

Creado con GeoGebra, por Tim Brzezinski

¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función par¹?

Nota 1: Una función es par si es que es simétrica con respecto al eje y. Cualquier función par debe satisfacer f(x)=f(-x).

¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función impar²?

Nota 2: Una función es impar si es que es simétrica con respecto a una rotación de 180°. Cualquier función impar f debe satisfacer f(x)=-f(-x).

¿Es la siguiente función par, impar o ninguna?