Simplificación de Expresiones

En la anterior lección, miramos la expresión:

x+y+z-x-y-z

Creado con GeoGebra

A pesar de que no sabíamos los valores de x, y, z, encontramos que el valor de la expresión es 0. La expresión x+y+z-x-y-z es equivalente a 0, y podemos escribirlo de esta forma. Esto se llama simplificación de expresiones.

No todas las simplificaciones resultarán en cero, este fue un caso especial.

Realizamos simplificación de expresiones porque esto hace que:

• Sea más fácil hacer álgebra.
• Sea más fácil comparar diferentes expresiones.
• Sea menos tedioso evaluar expresiones.

Claramente evaluar 0 es menos tedioso que evaluar x+y+z-x-y-z. En los siguientes problemas, exploraremos la simplificación de expresiones.

El tubo de la imagen está compuesto de segmentos pequeños. Cada segmento rojo tiene una longitud de x, cada segmento verde tiene una longitud de y, el segmento azul tiene una longitud de 10 y el segmento amarillo tiene una longitud de 5.

En total, la longitud del tubo es de x+x+y+10+y+x+x+5.

¿Cuál de las expresiones es una versión simplificada de la longitud del tubo?

Laura tiene una pastelería y prepara estos postres:

Durante el almuerzo, Laura tiene las siguientes órdenes:

• 2 rosquillas y 1 pastel
• 1 pastel
• 1 rosquilla y 2 helados
• 2 cupcakes y 3 rosquillas
• 2 pasteles y 2 helados

El tiempo que le toma en preparar cada postre se muestra en la imagen. Si es que consideramos que ella puede preparar sólo un postre a la vez, ¿cuánto tiempo en minutos le tomará en completar las órdenes?

En el ejemplo anterior agrupamos las 6 rosquillas que Laura preparó ya que algebraicamente son términos semejantes. Términos semejantes en álgebra significa que son partes de una expresión que tienen la misma variable.

Podemos simplificar expresiones cuando encontremos términos iguales que se suman o restan. Por ejemplo, Laura tardó 2x minutos en preparar las rosquillas en la primera orden y 1x minutos en la tercera orden. Entre estas órdenes, Laura se tardo 2x+1x minutos.

Esto es equivalente a:

2x+1x=(2+1)x=3x

A esto se le llama combinar términos semejantes.

Es importante verificar que los términos sí sean semejantes antes de añadirlos. Por ejemplo, en la expresión 3x+2y. Los términos 3x y 2y no son semejantes porque no incluyen la misma variable. Sería un error combinarlos para formar 5x o 5y.

En el tubo segmentado se puede observar que la longitud de x y y podría ser diferente.

Simplifica la expresión:

10+5x+3y-2x+y-7+3x

Después de simplificar, ¿cuál de las siguientes expresiones es diferente de las otras?

1. 4x+5-3y+3-2x+7y
2. 2x+4y+8
3. 3x+4+y+3-2x-y
4. 5x+y+4-3x-2+3y+6

A medida que nos encontramos con expresiones más complicadas, podemos simplificar con el orden de operaciones, por ejemplo, 5+3(4x) . Podemos reducir el paréntesis aplicando el orden de operaciones.

Nos damos cuenta de que 3(4x) es igual a 3×4x. Así que podemos simplificar esta expresión:

3(4x)=3×4x=12x

Entonces simplificando la expresión 5+3(4x) tenemos 5+12x. Dado que los términos 5 y 12x no son semejantes, ya no podemos simplificar más.

Suponiendo que hubiéramos resuelto el problema de diferente manera, si hubiéramos sumado primero:

5+3(4x)
8(4x)
32x

¿Son 5+3(4x) y 32x expresiones equivalentes?

Después de simplificar, ¿cuál de las siguientes expresiones es diferente de las otras?

1. 10x
2. 14x+13x-12x-5x
3. -2(3x)+8(2x)
4. 5(3x)-3(2x)

Combina términos semejantes de esta expresión.

x(y) +x(4)