Sucesiones Geométricas

¿Cuántas de estas sucesiones son aritméticas¹?

A) 1,10,100,1000,10000,…

B) 15,10,5,0,-5 ,…

C) 1,5,9,13,17,…

Nota 1: Una sucesión aritmética ocurre en donde el mismo valor siempre es sumado a un término para obtener el siguiente.

La primera sucesión de la pregunta anterior es la única que no es aritmética:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Esta sucesión también puede ser definida recursivamente. En vez de usar adición repetitiva como en el caso de las sucesiones aritméticas, usamos multiplicación repetitiva (por 10). Esta es una característica de sucesiones geométricas.

Una sucesión geométrica es una sucesión construida empezando con un término inicial, denominado a y multiplicando por el mismo número, llamado razón r, una y otra vez.

Por ejemplo, en la sucesión:

1,10,100,1000,10000,…

• a, término inicial, es 1
• r, razón, es 10

¿Cuál de las siguientes sucesiones no es geométrica³?

A) 1,-1,1,-1,1,-1,…

B) 2,4,8,16,32,…

C) 200,100,50,25,12.5,…

Nota 3: Una sucesión geométrica es una sucesión de números los cuales se diferencian el uno del otro por una razón común.

¿Es la siguiente sucesión aritmética, geométrica, ambas o ninguna?

5, 5, 5, 5, 5, 5, …

¿Cuál es la razón común⁵ de esta sucesión?

[latex]\frac{1}{2},\frac{3}{8},\frac{9}{32},\frac{27}{128},\frac{81}{512}[/latex], …

Nota 5: Una razón común es la razón entre los términos en una sucesión geométrica. Por ejemplo, en la sucesión 2, 4, 8, 16, … la razón común es 2 ya que cada término se diferencia del anterior por un factor de 2.

Generalmente, cuando el término inicial es positivo y tenemos r>1, la sucesión está incrementando. Al multiplicar por r cuando r>1 hará que cada término subsiguiente se haga más grande.

Generalmente, cuando el término inicial es positivo y tenemos 0<r<1, la sucesión está decreciendo. Al multiplicar por r cuando 0<r<1 es equivalente a multiplicar por un valor entre 0% y 100% lo que causará que cada término subsiguiente decrezca.

Ten en cuenta que cuando tenemos un término inicial negativo, las direcciones se revierten. Por ejemplo, con r=3 y un término inicial -1 la sucesión es -1, -3, -9, -27, … la cual está decreciendo.

Cuando r es negativo, la sucesión alternará entre positivo y negativo. Eso es debido a que un número positivo multiplicado por un negativo resulta en negativo, y un número negativo multiplicado por un número negativo resulta en positivo. Este es un ejemplo, 1,-2,4,-8,16,…

Hasta ahora hemos trabajado con descripciones recursivas de las sucesiones geométricas. Tratemos de definir la siguiente sucesión geométrica explícitamente⁶.

Término 1: 3=3

Término 2: 3×2=6

Término 3: 3×2×2=12

Término 4: 3×2×2×2=24

…

¿Cuál es la fórmula explícita para el valor del término n?

Nota 6: Una fórmula explícita es una regla que relaciona al número de un término con el valor del término en una sucesión, lo cual nos permite calcular rápidamente el valor de términos grandes en una sucesión.

El anterior problema empezaba con un término inicial 3, y tenía una razón r=2, dándonos la fórmula:

[latex]\frac{3}{2} {{(2)}^n}[/latex]

Si es que generalizamos la fórmula considerando un término inicial a y una razón r, tenemos la fórmula:

[latex]\frac{a}{r} {{(r)}^n}[/latex]

La razón por la cual tenemos una r en el denominador es para compensar por el número del término que se diferencia del exponente por 1:

Término 1: [latex]\frac{a}{r}\times {{r}^1}=a\times {{r}^0}=a[/latex]

Término 2: [latex]\frac{a}{r}\times {{r}^2}=a\times {{r}^1}=a\times r[/latex]

Término 3: [latex]\frac{a}{r}\times {{r}^3}=a\times {{r}^2}=a\times r\times r[/latex]

Término 4: [latex]\frac{a}{r}\times {{r}^4}=a\times {{r}^3}=a\times r\times r\times r[/latex]

3 bacterias se empiezan a duplicar cada hora, como se muestra abajo. ¿Cuántas bacterias hay después de 20 horas?