Sucesiones

Ya nos familiarizamos con los límites de funciones y entendimos su significado. De igual forma, necesitamos ideas correspondientes para secuencias con el fin de entender las sumas infinitas.

En esta lección, exploraremos las secuencias usando problemas de geometría.

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En el área de un círculo, podemos encontrar un límite.

Las figuras con lados rectos tienen áreas que son fáciles de encontrar ya que pueden ser divididas en triángulos y cada triángulo tiene un área de 1/2 de su base multiplicado por su altura.

Un círculo es completamente redondo, pero podemos encontrar parte de su área al colocar un triángulo equilátero adentro.

¿Cuál es el área que obtenemos en el triángulo equilátero inscrito?

Podemos mejorar el estimado del área del círculo al usar un cuadrado:

¿Cuál es el área del cuadrado?

Ingresa un valor

Intentamos aproximar el área de un círculo al inscribir un polígono regular y calcular el área del polígono inscrito.

Vimos que, el área del triángulo inscrito es ≈1.3. Dado que el triángulo tiene tres lados, podemos usar a A₃ para representar a su área.

También vimos que, el área del cuadrado inscrito es 2. Podemos usar a A₄ para representar a su área.

Podemos seguir incrementando el número de lados del polígono inscrito en el círculo para mejorar el estimado del área. Este es el método que los matemáticos de la antigüedad usaron para encontrar la fórmula para el área del círculo.

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En cada etapa n de este proceso, tenemos un polígono de n lados inscrito en el círculo con un área de [latex]A_{n}[/latex]. En la siguiente etapa, tenemos un polígono con un lado más y su área es [latex]A_{n+1}[/latex]. Al incrementar el número de lados, obtenemos un mejor estimado del área del círculo, es decir, cada etapa nos da más precisión.

Todos estas áreas forman una sucesión de números: [latex]A_{3},~A_{4},~ A_{5},[/latex] …. Esto es una lista ordenada de números sin fin.

Entre más lados tiene el polígono regular inscrito, más región del círculo es cubierta.

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No es posible tener un polígono que cubra completamente al círculo, pero podemos acercarnos mucho al añadir más y más lados. ¿Qué nos dice esto sobre la siguiente sucesión de números?

Las áreas [latex]A_{n}[/latex] nunca alcanzan el área del círculo de radio 1, pero se acercan mucho a medida que los lados del polígono n incrementan. Entonces, podemos escribir

En la siguiente interactiva, puedes variar n, el número de lados. Usando esto, ¿cuál estimas que sea el valor exacto de [latex]\lim_{n\to \infty}⁡ A_{n}[/latex]?

Las sucesiones tienen muchas aplicaciones más allá de la geometría. Un ejemplo es en arqueología con el uso del carbono para descubrir la edad de objetos arqueológicos.

El carbono-14 es radioactivo, esto significa que después de una cierta cantidad de tiempo ∆t, podemos estar seguros de que la mitad de los átomos de carbono-14 en una muestra ha cambiado a algo diferente.

Si es que empezamos con [latex]c_{0}>0[/latex] átomos de carbono-14, entonces [latex]c_{n}[/latex] es el número de átomos restantes después de n∆t segundos.

Dado que esto es una sucesión, ¿cuál de las siguientes fórmulas relaciona a [latex]c_{n+1}[/latex] con [latex]c_{n}[/latex]?

La sucesión [latex]\{c_{n}\}_{n=0}^{\infty}[/latex] nos dice cuánto carbono-14 hay en una muestra a medida que el tiempo n pasa.

[latex]c_{0}[/latex] representa la cantidad inicial y [latex]c_{n+1}=\frac{1}{2} c_{n}[/latex] es la fórmula recursiva¹. ¿A qué es igual [latex]\lim_{n\to \infty}⁡c_{n} [/latex]?

Nota 1: Una fórmula recursiva para una sucesión nos indica cómo ir de número al siguiente.

En esta lección, exploramos las sucesiones y miramos algunos ejemplos. Las sucesiones son listas ordenadas de números que no tienen fin.

Muchas sucesiones tienen límites, lo cual es un patrón en los elementos de la sucesión a medida que vemos más y más elementos de la lista.