Sumas Infinitas: Aplicaciones

En anteriores lecciones, usamos las ecuaciones diferenciales para justificar el estudio de las antiderivadas. Vimos que, las ecuaciones diferenciales involucran a una función desconocida, así como también sus derivadas.

Las ecuaciones diferenciales son usadas todo el tiempo en ingeniería, física y matemáticas aplicadas. Las sumas infinitas pueden ayudarnos a resolver algunas ecuaciones diferenciales.

En esta lección, aprenderemos a usar las sumas infinitas para encontrar soluciones para algunas ecuaciones diferenciales. Empezaremos revisando las aproximaciones lineales y cuadráticas.

Ya sabemos que una función f puede ser aproximada linealmente como [latex]L(x)=f'(a)(x-a)+f(a)[/latex] cerca de x=a.

Esta aproximación puede ser mejorada al usar la siguiente aproximación cuadrática

Siguiendo esta lógica, podemos obtener un mejor aproximado al usar la cúbica

¿Cuál constante A hace que C(x) sea un buen estimado para f(x) cerca de x=a?

Recuerda que [latex]{{f}^{(n)}}[/latex] es la derivada de n orden de f.

Es posible hacer que más derivadas sean similares para tener un mejor estimado.

Dado el polinomio [latex]p_{n-1} (x)[/latex] de grado n-1 que estima a f(x) cerca de a, tenemos

Encuentra [latex]A_{n}[/latex] al hacer que las derivadas de [latex]p_{n}[/latex] en x=a sean iguales a las derivadas de f.

Recuerda que n! es igual a n(n-1)(n-2)⋯×3×2×1.

Entre más grande sea el valor de n, tendremos un mejor aproximado para el polinomio

para f(x) cerca de x=a. Para muchas funciones f(x) es precisamente lo siguiente, aunque ten en cuenta que no siempre es verdadero:

Para estas funciones especiales, la suma infinita (llamada la serie de Taylor de f centrada en a) converge a f(x) sin importar los valores de x o a.

Usemos lo que aprendimos para resolver las ecuaciones diferenciales en la ecuación de resortes.

Creado con GeoGebra

Un bloque en un resorte oscila en una superficie sin fricción. Las leyes de Newton nos dicen que, la fuerza total en el bloque es su masa multiplicado por la aceleración.

La única fuerza que actúa en el bloque es el resorte: [latex]F_{resorte}=-kx[/latex], en donde k es una constante y x es el desplazamiento del bloque.

¿Cuál ecuación diferencial para x(t) describe el movimiento del bloque?

La ecuación del resorte [latex]mx”(t)=-kx(t)[/latex] no es tan fácil de resolver ya que x aparece en ambos lados. Entonces, busquemos una solución usando las series de Taylor:

Si es que desplazamos al bloque por A unidades inicialmente, ¿cuál es el primer término diferente de cero de la suma de x(t)?

En el anterior problema vimos que,

Asumiendo que el bloque es soltado con velocidad [latex]v_{0}[/latex], ¿cuáles son los primeros dos términos diferentes de cero en la suma infinita para x(t)?

Vimos que, con las condiciones iniciales [latex]x(0)=A, ~x’ (0)=v_{0}[/latex], encontramos los primeros dos términos para x(t):

¿Cuál es el término cuadrático en la suma infinita?

Podemos incluir tantos términos como sean necesarios para encontrar la solución aproximada:

Es posible mejorar este estimado y encontrar la respuesta exacta.

Para simplificar esto, podemos asumir que [latex]v_{0}=0[/latex]. Si es que continuamos el proceso que seguimos en las anteriores preguntas, encontramos

El cálculo nos muestra que [latex]A \cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t \right)[/latex] tiene la misma suma.

Esto significa que [latex]x(t)=A \cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t \right)[/latex], lo cual tiene sentido ya que el bloque oscila similar a una función coseno.