Sumas Infinitas: Introducción

Ya aprendimos sobre las derivadas y las integrales. Ahora es tiempo de aprender sobre el tercer pilar del cálculo: las sumas infinitas.

Las sumas infinitas tienen muchas aplicaciones en ingeniería, física, computación, finanzas. Por ejemplo, en ingeniería son usadas para análisis de ondas de sonido y flujo de corriente. En física son usadas para encontrar el tiempo que toma para que un péndulo se detenga.

En esta lección, usaremos una pizza para entender los principios básicos de las sumas infinitas.

Vamos a usar el siguiente ejemplo:

Usamos una pizza para entender la sumatoria. Cortamos a la pizza en seis partes iguales y damos cinco pedazos a nuestros amigos.

Luego, dividimos el pedazo sobrante en seis partes y damos cinco de estos pedazos más delgados.

¿Qué fracción de la pizza original tiene cada amigo?

Cada persona tiene [latex]\frac{1}{6}+\frac{1}{36}[/latex] veces la cantidad original de pizza y queda sobrante [latex]\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}[/latex] veces la cantidad original.

Supongamos que podemos hacer otro corte y dividimos este pedazo en seis partes iguales las cuales volvemos a repartir

Si es que pudiéramos cortar la pizza n veces, ¿qué fracción de la pizza original tendríamos sobrante?

En el corte n, el pedazo sobrante se reduce a [latex]{{(\frac{1}{6})}^n}[/latex] veces el tamaño de la pizza original.

¿Qué fracción de la pizza original tiene cada uno de nuestros amigos?

Después de haber cortado a la pizza n veces, tenemos [latex]{{(\frac{1}{6})}^n}[/latex] sobrante de la cantidad original, mientras que cada amigo tiene la fracción [latex]\frac{1}{5} \left[1-{{(\frac{1}{6})}^n} \right][/latex].

Escribe la fracción que cada amigo ha recibido como una suma [latex]\sum_{i=1}^{n} a_{i} =a_{1}+a_{2}+a_{3}+[/latex]⋯[latex]+a_{n}[/latex], en donde [latex]a_{i}[/latex] son números dependientes en el índice i y tenemos

En las anteriores dos preguntas vimos que, la fracción de pizza que cada amigo recibe después del corte n es [latex]\frac{1}{5} \left[1-{{(\frac{1}{6})}^n} \right][/latex] y también

Esto significa que tenemos lo siguiente

lo cual es verdadero para cualquier número positivo n.

¿Cuál es el valor más razonable para la suma infinita [latex]\sum_{i=1}^{\infty} {{(\frac{1}{6})}^i}[/latex]?

Cuando este límite sí existe, la sumatoria es convergente y cuando no existe, la sumatoria es divergente.

La sumatoria geométrica [latex]\sum_{i=1}^{\infty} {{r}^{i-1}}[/latex] es un caso especial que podemos explorar.

Las sumatorias geométricas tienen la identidad

Esto es el resultado de realizar división larga en la parte derecha.

Cuando [latex]\sum_{i=1}^{\infty} {{r}^{i-1}}[/latex] converge, ¿a qué es igual [latex]\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n} {{r}^{i-1}}[/latex] como una función de r?

En la anterior pregunta vimos que, la suma geométrica [latex]\sum_{i=1}^{\infty} {{r}^{i-1}}[/latex] converge cuando tenemos [latex]\lim_{i\to \infty}⁡a_{i}=0[/latex]. Ten en cuenta que, cuando tenemos [latex]\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}[/latex], este no siempre es el caso.

Para ver porqué, vamos a encontrar un límite inferior en las sumas parciales

Con esto podremos determinar si es que [latex]\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}[/latex] es convergente o no.

Usa la desigualdad

y determina la convergencia o divergencia de la siguiente sumatoria

A pesar de que los términos de la sumatoria [latex]\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}[/latex] se van a 0 a medida que i tiende a infinito, estos términos no decrecen lo suficientemente rápido para que la sumatoria sea convergente.

Sin embargo, los términos de la sumatoria geométrica [latex]\sum_{i=1}^{\infty} {{r}^{i-1}}[/latex] , sí se van a 0 lo suficientemente rápido para convergencia en 0<r<1.

La determinación de convergencia o divergencia es un área extensa que tiene su sección dedicada en cálculo.